解説
$T=\{ rE \mid r\in \mathbb{R}, r\neq 0\}$ とおき $S=T$ を示す．任意の $X\in {\rm GL}(2,\mathbb{R})$ および $r\in\mathbb{R}\;(r\neq 0)$ に対して
\begin{equation}
(rE)X=rX=X(rE)
\end{equation}であるから $T\subset S$ である．一方，任意の $A\in S$ をとり
\begin{equation}
A=\left[
\begin{array}{rr}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right]
\end{equation}とおく．ここで
\begin{equation}
M_1=\left[
\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}
\right], \; M_2=\left[
\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{equation}とすると，$M_1, M_2\in {\rm GL}(2,\mathbb{R})$ である．$A$の定義より $AM_1=M_1A, \;AM_2=M_2A$ だから
\begin{equation}
\left[
\begin{array}{rr}
b & a \\
d & c
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{rr}
c & d \\
a & b
\end{array}
\right], \;\left[
\begin{array}{rr}
a & -b \\
c & -d
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{rr}
a & b \\
-c & -d
\end{array}
\right].
\end{equation}成分を比較すると $a=d, b=c, b=-b$ が得られる．よって
\begin{equation}
A=\left[
\begin{array}{rr}
a & 0 \\
0 & a
\end{array}
\right]=aE
\end{equation}であり，$A\in {\rm GL}(2,\mathbb{R})$ だから $a\neq 0$ が成り立つ．ゆえに $S\subset T$ であり，したがって $S=T$ である．