KOTAKE杯008(F)

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，その垂心を $H$ とし，外接円を $Ω$ とする．直線 $CH$ と $AB$ の交点を $D$ とし，直線 $AH$ と $Ω$ の交点のうち $A$ でない方を $P$ ，直線 $BH$ と $Ω$ の交点のうち $B$ でない方を $Q$ とする．直線 $CH$ と $PQ$ の交点を $R$ とすると，以下が成立しました．
$$DH=3,\quad HR=4,\quad AD=5$$
このとき線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内接円と線分 $BC,CA,AB$ との接点をそれぞれ $D,E,F$ とする．$B$ について $F$ を対称移動した点を $X$ とし，$C$ について $E$ を対称移動した点を $Y$ とし，三角形 $AXY$ における $A$ を含まない弧 $XY$ の中点を $M$ とすると，以下が成立しました．
$$AX=20,\quad AY=24,\quad DM=19$$
このとき線分 $XY$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ があり，外接円を $\Gamma$ ，$A$ 混線内接円を $\Omega$ とします．$\Gamma$ と $\Omega$ の接点を $P$ とし，$\Gamma$ の点 $A$ を含む方の弧 $BC$ の中点を $M$ とし，線分 $MP$ と $\Omega$ の交点のうち $P$ でない方を $X$ ，線分 $AP$ と $\Omega$ の交点のうち $P$ でない方を $Y$ ，直線 $AX$ と $\Gamma$ の交点のうち $A$ でない方を $Z$ とすると以下が成立しました．
$$XY=3,\quad XZ=15,\quad PY=10$$

このとき線分 $AM$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり，外接円 $\Omega$ の中心を $O$， $\Omega$ の $A$ を含まない方の弧 $BC$ の中点を $M$ とします．$\Omega$ の点 $B,C$ それぞれにおける接線の交点を $D$ とし，線分 $AD$ と $\Omega$ の交点のうち $A$でない方を $P$ とし，点 $P$ を通り直線 $BC$ に垂直な直線と線分 $AM$ の交点を $Q$ とすると以下が成立しました．
$$AQ=8,\quad OQ=3,\quad \angle PMO=\angle QOM$$
このとき線分 $BM$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$ とし，直線 $BI$ と線分 $AC$ の交点を $D$ とすると，以下が成立しました．
$$AB=8,\quad AC=10,\quad AD=AI$$
このとき三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB<AC$ を満たす，$ \angle BAC$ が鈍角の三角形 $ABC$ があり，$A$ から線分 $BC$ におろした垂線の足を $D$ とする．$4$ 点 $BEDC$ がこの順に同一直線上に並ぶように点 $E$ をとると，三角形 $ACE$ の外接円は直線 $AB$ に点 $A$ で接し，点 $E$ から線分 $AB$ におろした垂線の足を $H$ とすると，
$$BH=2,\quad AH=4,\quad AC=9$$
が成立しました．このとき線分 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，辺 $AB$ の中点を $M$ とし，$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする．直線 $AD$ と $CM$ の交点を $P$ とし，直線 $BP$ と $AC$ の交点を $E$ とすると，以下が成立しました．$$AB=21,\quad CD=12,\quad CE=16$$
このとき線分 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB＜AC$の三角形$ABC$があり，内心を$I$，直線$AI$と三角形$ABC$の外接円の交点を$M(≠A)$とする．$∠A$内の傍接円と辺$BC$の共有点を$P$としたとき$4$点$BIPM$は共円であり，$BI＝5，BC＝11$であった．このとき$IP$の長さは正の整数$a,b$と平方因子を持たない正の整数$c$を用いて，$a−b \sqrt{c}$と表せるので$a+b+c$を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，点$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．$AD,EF$ の交点を $P$ とすると，以下が成立しました．
$$DE=37,\quad EF=40,\quad AP:PD＝5:6$$
このとき線分 $DF$ の長さを解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり，点$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．半直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とすれば，
$$AC=BP,\quad BD=60,\quad CD=92$$
が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり重心を $G$，垂心を $H$ とします．線分 $GH$ の中点を $M$ とすれば，直線 $AM$ は $ \angle BAC$ を二等分し，

$$BC＝30,\quad CH＝25$$
が成立しました．このとき線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$\angle A$ が鈍角の二等辺三角形 $ABC$ があり，外接円を $\Omega$ とします．$\Omega$ の点 $C$ を含まない弧 $AB$ 上に点 $P$ をとり，直線 $BP$ と点 $C$ における $\Omega$ の接線の交点を $Q$ とし，直線 $AP$ と線分 $CQ$ の交点を $R$ とすると以下が成立しました．
$$BC＝40,\quad BP＝14,\quad QR＝9$$
このとき線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください