KOTAKE杯008(A)

問題文

三角形 $ABC$ があり，辺 $AB$ の中点を $M$ とし，$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする．直線 $AD$ と $CM$ の交点を $P$ とし，直線 $BP$ と $AC$ の交点を $E$ とすると，以下が成立しました．$$AB=21,\quad CD=12,\quad CE=16$$
このとき線分 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB<AC$ を満たす，$ \angle BAC$ が鈍角の三角形 $ABC$ があり，$A$ から線分 $BC$ におろした垂線の足を $D$ とする．$4$ 点 $BEDC$ がこの順に同一直線上に並ぶように点 $E$ をとると，三角形 $ACE$ の外接円は直線 $AB$ に点 $A$ で接し，点 $E$ から線分 $AB$ におろした垂線の足を $H$ とすると，
$$BH=2,\quad AH=4,\quad AC=9$$
が成立しました．このとき線分 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，その垂心を $H$ とし，外接円を $Ω$ とする．直線 $CH$ と $AB$ の交点を $D$ とし，直線 $AH$ と $Ω$ の交点のうち $A$ でない方を $P$ ，直線 $BH$ と $Ω$ の交点のうち $B$ でない方を $Q$ とする．直線 $CH$ と $PQ$ の交点を $R$ とすると，以下が成立しました．
$$DH=3,\quad HR=4,\quad AD=5$$
このとき線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内接円と線分 $BC,CA,AB$ との接点をそれぞれ $D,E,F$ とする．$B$ について $F$ を対称移動した点を $X$ とし，$C$ について $E$ を対称移動した点を $Y$ とし，三角形 $AXY$ における $A$ を含まない弧 $XY$ の中点を $M$ とすると，以下が成立しました．
$$AX=20,\quad AY=24,\quad DM=19$$
このとき線分 $XY$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり，その垂心を $H$ ，外心を $O$ とする．直線 $AO$ と $BC$ の交点を $D$ とし，三角形 $BDH$ の外接円と線分 $AB$ の交点のうち $A$ でないものを $E$ とすると以下が成立しました．
$$AE=78,\quad BE=13,\quad \angle AED=90°$$
このとき線分 $BH$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB < AC$ なる三角形 $ABC$ の辺 $AC$ 上に $AB = CP$ なる点 $P$ をとり，$2$ 点 $A , P$ を通り，直線 $BP$ に接するような円を $\omega$ とする．いま，三角形 $ABC$ の外接円と $\omega$ は $A$ でない点で交わったので，その点を $X$ とすると，直線 $AB$ は $\omega$ に接し，さらに次が成立した． $$BC = 12 ,　PX = 5$$ このとき，線分 $BP$ の長さの $2$ 乗を解答せよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

$AB=11, AC=18$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，線分 $AD$ が外接円の直径をなすような点 $D$ を取り，線分 $BC$ の中点を $M$，$D$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $E$ とする．三角形 $AME$ の外接円が線分 $AB$ に接するとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．

問題文

$∠A$が鋭角であり$AB＝AD，BC＝CD＝7，∠ABC＝∠CDA＝90°$を満たす四角形$ABCD$がある．線分$AB$，線分$AD$の中点をそれぞれ$M,N$とし，直線$MN$と直線$BC$の交点を$P$とすると$AP＝24$であったので$AC$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

正整数からなる有限集合 $V$ に対し，その要素数を $f(V)$ ，要素の総和を $g(V)$ とします．相異なる正整数からなる有限集合 $S$ であって，次を満たすものを良い集合とします．

• $S$ の任意の部分集合 $T$ について，命題「 $f(T)$ が奇数ならば $g(T)$ は素数である」は真である．

$f(S)$ が最大となるような良い集合 $S$ のうち，$g(S)$ が最小となるようなものは一意に定まるので，その要素の総積を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$1,2,\dots,8$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_8$ について，そのスコアを

• $i=1,2,\dots,7$ のうち，$a_i\lt a_{i+1}$ なるものの総和

と定めます．$8!$ 通りすべての並び替えのスコアの総和を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$AB＜BC$なる鋭角三角形$ABC$があり，$B$から$AC$におろした垂線の足を$D$とし，線分$BC$の中点を$M$とする．三角形$ABC$の外接円上に点$E,F$をとると$4$点$EDMF$はこの順に同一直線上に存在し，$DE＝6，MF＝8，CD＝15$であったので線分$AB$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

$401$ のようにすべての桁が平方数からなる正の整数を $fool$ 数と呼びます. $999$ 桁の $fool$ 数のうち $3$ の倍数であるものの個数を $N$ としたとき$,$ $N$ の下三桁を求めてください.