ABC3(E)

問題文

三角形 $ABC$ について，角 $A,B,C$ 内の傍接円をそれぞれ $\Gamma_A,\Gamma_B,\Gamma_C$ とします．また，$\Gamma_A$ と直線 $AB,AC$ との接点をそれぞれ $P,Q$ ，$\Gamma_B$ と直線 $BC,BA$ との接点をそれぞれ $R,S$ ，$\Gamma_C$ と直線 $CA,CB$ との接点をそれぞれ $T,U$ とします．線分 $PS,QT,RU$ の長さがそれぞれ $25,26,29$ であるとき，三角形 $ABC$ の周長を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

素数 $p,q,r$ と正整数 $n$ の組 $(p,q,r,n)$ であって，

$$p^n-4q^4=r^4$$

を満たすものすべてについて，$pqrn$ の値の総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$3$ 個以上の相異なる $300$ 以下の正整数からなる集合が次の条件を満たすとき，その要素数として考えられる最大の値を解答してください．

• どの相異なる $3$ 個の要素を選んでも，それらを $3$ 辺の長さとする(非退化な)三角形は存在しない．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

平面上に正 $27$ 角形があります．これの相異なる $4$ つの頂点を選ぶ方法であって，それらを頂点に持つ四角形の内角の大きさがいずれも度数法で整数となるようなものは何通りありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，その値を半角で解答してください．

問題文

$100$ 以下の正整数 $n$ であって，$4$ つの実数 $a,b,c,d$ が $4a+3b+2c+d=n$ を満たして動くとき，

$$a^2+b^2+c^2+d^2+a+2b+3c+4d$$

の取りうる最小値が整数となるものすべての総和を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

数列 $\lbrace a_n \rbrace_{n=1,2,\dots}$ が $a_1=-2,a_2=1$ を満たし，さらに次の条件を満たすとき，$a_{100}$ の値を求めてください．

• 任意の正整数 $k$ について，$a_k+a_{k+1}+a_{k+2}=k$ が成り立つ．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$2^{10}×3^7×5^4$ の正の約数 $440$ 個を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_{440}$ とします．いま，これらの数が両面に $1$ つずつ書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつあり，すべて表向きに並べられています．$i=1,2,\dots,440$ に対して，$i$ 回目の操作を次のように定めます．

• $d_i$ の正の約数が書かれたカードをすべて裏返す．

$440$ 回操作を順に行ったとき，表向きであるカードは何枚ありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において，角 $A$ の二等分線と直線 $BC$ の交点を $D$ ，線分 $BC$ の垂直二等分線と直線 $AC$ の交点を $E$ とします．このとき，三角形 $CDE$ の周長は $20$ であり，さらに

$$AD=DC，AE=6$$

が成立しました．線分 $AB$ の長さを求めてください．

解答形式

答えは正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり重心を $G$，垂心を $H$ とします．線分 $GH$ の中点を $M$ とすれば，直線 $AM$ は $ \angle BAC$ を二等分し，

$$BC＝30,\quad CH＝25$$
が成立しました．このとき線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり，点$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．半直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とすれば，
$$AC=BP,\quad BD=60,\quad CD=92$$
が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，点$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．$AD,EF$ の交点を $P$ とすると，以下が成立しました．
$$DE=37,\quad EF=40,\quad AP:PD＝5:6$$
このとき線分 $DF$ の長さを解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$\angle A$ が鈍角の二等辺三角形 $ABC$ があり，外接円を $\Omega$ とします．$\Omega$ の点 $C$ を含まない弧 $AB$ 上に点 $P$ をとり，直線 $BP$ と点 $C$ における $\Omega$ の接線の交点を $Q$ とし，直線 $AP$ と線分 $CQ$ の交点を $R$ とすると以下が成立しました．
$$BC＝40,\quad BP＝14,\quad QR＝9$$
このとき線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください