RS杯 7

roku_omc 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2026年3月17日14:00 正解数: 3 / 解答数: 5 (正答率: 60%) ギブアップ数: 0
この問題はコンテスト「RS杯」の問題です。

全 5 件

回答日時 問題 解答者 結果
2026年3月17日20:04 RS杯 7 natsuneko
正解
2026年3月17日20:03 RS杯 7 natsuneko
不正解
2026年3月17日17:26 RS杯 7 Nyarutann
正解
2026年3月17日15:24 RS杯 7 Americium243
正解
2026年3月17日15:21 RS杯 7 Americium243
不正解

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OMC没問1

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問題文

$AB<AC$ で,線分 $AB,AC$ の長さが正整数値である三角形 $ABC$ について,半直線 $CB$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $D$ ,半直線 $BC$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $E$ をそれぞれ置く.また,三角形 $ADE$ の外接円と直線 $AB,AC$ との交点のうち,$A$ でないほうをそれぞれ $P,Q$ とする.$4$ 点 $B,P,Q,C$ が同一円周上にあり,$DB=9,BC=45,CE=5$ のとき,線分 $PQ$ の長さとしてあり得る値の総和は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答してください.

解答形式

半角数字で入力してください。

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問題文

$0,1,2,3$ の数字が $11$ 個,黒板に横並びで書かれています.以下の操作を繰り返したとき,$0$ となる初期配置は何通りありますか?

  • 隣り合う項の和を $3$ で割ったあまりに同時に書き換える.

例えば,$01233210$ は一度操作を行うと,$1020201$ となります.

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時,5桁以上になるなら5桁,5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください.


$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

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8時間前

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問題文

$\angle BAC > 90^\circ$ なる鈍角三角形 $ABC$ とその外接円 $\Gamma$ があります.点 $B$ における円 $\Gamma$ の接線 $l$ 上に点 $D$ を $\angle DBC > 90^\circ$ となるように取り,線分 $DC$ と 円 $\Gamma$ の交点を $E$ とします.すると以下が成り立ちました.
$$2\angle DBE = \angle EBC,BD=15,DE=9,AB=BE$$
この時,$AB$ の長さを求めて下さい.

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時,5桁以上になるなら5桁,5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください.


$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

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問題文

$AB<AC<BC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり,点 $C$ から $\angle BAC$ の二等分線に下ろした垂線の足を $D$ とします.$BC$ 上に2点 $P,Q$ を取ると,$4$ 点 $APQD$ は半径が $\sqrt{66}$ の同一円周上にあり,以下が成り立ちました.
$$AB=BQ,AC=CP,PQ=12$$
この時,三角形 $ADC$ の面積を求めて下さい.

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時,5桁以上になるなら5桁,5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください.


$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

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問題文

$a,b$ を $a\leqq b\leqq 30$ を満たす素数とします.
$$\frac{a^3+b^3+8}{a+b+2}$$
が整数となる $a,b$ の組をすべて求めてください.

解答する数値

求めた全ての組について,$a\times b$ を計算し,以下の解答形式に合わせその総和を解答してください.

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時,5桁以上になるなら5桁,5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください.


$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

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問題文

$n$ の約数の個数を $d(n)$ で表します.以下の式が成り立つ $n$ をすべて求めてください.
$$9(d(n)+d(n+1))^2=4n+409$$
ただし,$409$は素数です.

解答する数値

$n$ の総和を以下の解答形式に合わせて解答して下さい.

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時,5桁以上になるなら5桁,5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください.


$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

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$\angle{A}=60^\circ,AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について,その外心を $O$ ,垂心を $H$ とします.直線 $OH$ と直線 $AB$ との交点を $P$ としたとき,以下が成立しました.$$AP=8,AH=7$$このとき,三角形 $ABC$ の面積は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので,$a+b+c$ を解答してください.

解答形式

半角数字で入力してください。

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問題文

漸化式
$$a_{n+2}=(n+3)a_{n+1}-na_n,a_1=0,a_2=2$$
があります.$a_{n}$ が $n$ で割り切れない $50$ 以下の $n$ の個数を求めてください.ただし,$n=1$ を含みます.

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時,5桁以上になるなら5桁,5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください.


$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

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解答形式

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問題文

$2025$ 以下の正整数 $n$ であって,
$$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$
が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ.

解答形式

半角数字で入力してください。

初等幾何

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問題文

AB=ACなる二等辺三角形ABCにおいて、点Aから下ろした垂線の足をD、三角形ABCの外心.垂心をそれぞれO.Hとする。
AH:HD=119:25、OH=138、BC=480のとき、
ABの長さを求めよ。

解答形式

半角で回答して下さい。

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問題文

10の倍数でない正の整数 $n$ に対し, $f(n)$は, 十進法表示で $n$ を $1$ の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえば$f(123456789) = 987654321$です. $n+f(n)$が81の倍数となるような十進法で10桁の$n$の個数を解答してください.

備考

本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.