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問題文

自分で考えてみた問題があるのですが、ある条件からの探索で行き詰まってしまいました。途中までの考察をまとめましたので、ぜひ皆さんの力をお借りして、完全解決（数学的な証明）を目指したいです。なお、常用対数は小数第４位までの値を用いています

【条件式】
$N$ を自然数とし、以下の変数を定義します。
* $S$：$N$ の各位の和
* $P$：$N$ の各位の積
* $k$：$N$ の桁数

このとき、次の条件式を満たす自然数 $N$ をすべて求めたいです。
$$N = S^k + P \dots (*)$$

(例) $N = 1234$ のとき
* $S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$
* $P = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$
* $10^3 \le 1234 < 10^4$ より $k = 4$
このとき、$S^k + P = 10^4 + 24 = 10024$ となります。
$N \neq S^k + P$ （$1234 \neq 10024$）であるため、この $N$ は条件を満たさないことがわかります。

共通して言える性質

すべての場合において共通する前提として、以下の3つが成り立ちます。
① $N$ は $k$ 桁の数であるため、$10^{k-1} \le N < 10^k \iff k-1 \le \log_{10}(N) < k$
② もし $S \ge 10$ とすると、$S^k \ge 10^k$ となり、①の範囲（$N < 10^k$）を超えてしまうため、$S \le 9$ である。
③ 任意の自然数は各位の和を法として9と合同である（$N \equiv S \pmod 9$）ため、条件式から $S^k + P \equiv S \pmod 9$ が成り立つ。

これらを踏まえ、桁数 $k$ と各位の和 $S$ の関係で場合分けを行って考察しました。

考察①：$k \ge 10$ の場合（解なし）

$S \le 9$ であるため、$k \ge 10$ （10桁以上）のとき、鳩ノ巣原理により $N$ の各位のどこかに必ず $0$ が含まれます。つまり、各位の積は $P = 0$ となります。
$P = 0$ より、条件式は $N = S^k$ となります。共通性質①より $k-1 \le \log_{10}(S^k)$、すなわち $k-1 \le k \log_{10}(S)$ について考えます。これを $k$ について整理すると、
$$k \le \frac{1}{1 - \log_{10}(S)}$$
となります。ここで、常用対数の値を小数第4位まで用いて（$\log_{10}(9) \approx 0.9542$, $\log_{10}(8) \approx 0.9031$, $\log_{10}(7) \approx 0.8451$）計算すると、
* $S = 9$ のとき、$k \le \frac{1}{0.0458} \approx 21.8$
* $S = 8$ のとき、$k \le \frac{1}{0.0969} \approx 10.3$
* $S = 7$ のとき、$k \le \frac{1}{0.1549} \approx 6.4$

前提が $k \ge 10$ であるため、条件を満たす可能性があるのは $S = 8, 9$ のみとなります。

【(ア) $S = 8$ のとき】
$k = 10$ のみ考えます。$8 \equiv -1 \pmod 9$ より $8^{10} \equiv (-1)^{10} \equiv 1 \pmod 9$ となります。しかし、共通性質③より $N \equiv S \pmod 9$ すなわち $N \equiv 8 \pmod 9$ とならなければならず、矛盾します。したがって不適です。

【(イ) $S = 9$ のとき】
$10 \le k \le 21$ の範囲で考えます。$9 \equiv -1 \pmod{10}$ より、$9^k \equiv (-1)^k \pmod{10}$ となります。
* $k$ が奇数（$11, 13 \dots 21$）のとき： 下一桁が $9$ になります。各位の和 $S = 9$ を満たすためには、残りのすべての桁が $0$ にならなければならず、最高位が $0$ になってしまうため不適です。
* $k$ が偶数（$k = 2n$、$n = 5 \sim 10$）のとき： $9^{2n} = 81^n = (80 + 1)^n$ とみなし、二項定理を用いて展開します。$80^4$ 以降の項は $10000$ の倍数となるため、下4桁（$\pmod{10000}$）に影響を与えるのは $n \cdot 80 + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 80^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \cdot 80^3 + 1$ の部分のみです。実際に $n = 5 \sim 10$ の下4桁を計算し、その各位の和を求めると、すべての場合で下4桁の総和が $9$ 以上になります（例：$n=5$ のとき下4桁は $4401$ で和は $9$、$n=6$ のとき $6481$ で和は $19$ など）。これも和が $9$ を超えるか、あるいは残りの上の桁がすべて $0$（最高位が $0$）になることを意味し、不適となります。

以上より、$k \ge 10$ において $(*)$ を満たす自然数 $N$ は存在しません。

考察②：$1 \le k \le 9$ かつ $k > S$ の場合（解なし）

$k$ 桁の数において、各位に $0$ が入らないようにしたとき、$S$ の最小値は（すべての桁が $1$ の場合の）$1 \times k = k$ となります。
したがって、$k > S$ の場合、$S$ 個の要素を $k$ 個の桁に割り振ることになるため、少なくとも1つの桁には必ず $0$ が入ります（ここでも各位の積 $P = 0$ が確定します）。
よって $N = S^k$ となり、共通性質③より $S^k \equiv S \pmod 9$ が成り立ちます。

以下の手順で条件を満たす候補を絞りました。
1. $S = 1 \sim 9$ について、$S^k \pmod 9$ の周期を調べる。
2. $S \equiv S^k \pmod 9$ を満たす $k$ を探す。
3. そのうち $k > S$ かつ $1 \le k \le 9$ を満たすものを探す。

この結果、候補は $(S,k) = (1, 2\sim9), (2,7), (4,7), (5,7), (8,9)$ に絞られました。
ここで考察①と同様に $k \le \frac{1}{1 - \log_{10}(S)}$ を用いて、各候補が実際に $k$ 桁になるか（桁不足にならないか）を検証しました。
* $(1, 2\sim9)$ は $1^k = 1$ （1桁）
* $(2,7)$ は $2^7 = 128$ （3桁）
* $(4,7)$ は $4^7 = 16384$ （5桁）
* $(5,7)$ は $5^7 = 78125$ （5桁）
これらはすべて桁不足となり不適です。

残る候補 $(S,k) = (8,9)$ について検証します：
$N = 8^9$ の下一桁を $\pmod{10}$ の周期性（$8, 4, 2, 6$ の周期4）から求めると、下一桁は $8$ となります。しかし $S = 8$ のため、下一桁だけで和の $8$ を使い切ってしまい、他の8つの桁はすべて $0$ にならなければなりません。最高位が $0$ になるため、これも不適です。

以上より、$k > S$ においても $(*)$ を満たす自然数 $N$ は存在しません。

残された未解決部分（皆さんと考えたいこと）

ここまでの考察により、残る探索範囲は以下の通りに絞り込まれました。

【残る条件】
$k \le S$ かつ $1 \le S \le 9$ かつ $1 \le k \le 9$

ここから先は $P \neq 0$ となる可能性も出てくるため、私一人では手詰まりになってしまいました。
（ちなみに、この残された条件を満たす $N$ の候補は全部で約33,000通りあります。実はすでにコンピュータで全探索プログラムを回しており、条件を満たす $N$ の解はすべて特定済みです。しかし、私が考えたいのはそこに至るための数学的アプローチです。(僕は力技に頼ってしまったのですが…)

この限られた条件のもとで、どうすれば論理的に解を導き出せるでしょうか？
皆さんのアイデアや鮮やかな証明へのアプローチなど、どんなことでも構いませんのでぜひ教えてください！個人的には0≦P≦27であることがなにか考える上で役立ちそうな気がしてます

解答形式

一応、Nの全ての解をこの問題における正答とします。Nを小さい順に並べて解答してください

解答例:N=12,34のとき(実際の解とは異なりますが…)
12
34