ABC5(A)

問題文

$1,2,\dots,8$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_8$ であって，$$\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{a_5+a_6+a_7+a_8}$$ が整数となるものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，その外接円の優弧 $BC$ の中点を $D$ ，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，直線 $AC,DM$ の交点を $X$ とします．このとき，四角形 $ABCD$ の面積は $97$ で，かつ $DX=4,XM=5$ が成立しました．三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

$2^6×3^2×7$ の正の約数 $42$ 個の並び替え $(a_1,a_2,\dots,a_{42})$ であって，次の条件を満たすものはいくつありますか．

• $n=1,2,\dots,42$ について，$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$ としたとき，$S_1,S_2,\dots,S_{42}$ はいずれも $3$ の倍数でない．

解答形式

答えは非負整数 $N$ となるので，$N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を解答してください．

問題文

正整数 $N$ に対して，$v_3(N)$ で $N$ が $3$ で割り切れる最大の回数を表します．このとき，次の値を求めてください．$$\sum_{n=1}^{100}v_3\left(\sum_{k=1}^{n}k!\right)$$

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$0\leq n\leq m\leq 100$ なる整数組 $(m,n)$ のうち，$_m\mathrm{C}_n$ が偶数となるものはいくつありますか．ただし，$_0\mathrm{C}_0=1$ とします．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$a,b$ を正整数とするとき，$f(a,b)$ を次の式を満たす整数 $n$ の個数として定めます．$$an^3+b=\mathrm{lcm}(a,b)n^2+\gcd(a,b)n$$このとき，次の値を求めてください．$$\sum_{a=1}^{100}\sum_{b=1}^{100}f(a,b)$$

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

次を満たすすべての複素数組 $(a,b,c)$ について，$abc$ の値の総和を求めてください．
$$\left\{
\begin{aligned}
ab(b+c)&=3\\
bc(c+a)&=4\\
ca(a+b)&=42
\end{aligned}
\right.$$

解答形式

答えは正整数 $m,n$ を用いて $\dfrac{m}{n}$ と表されるので，$m+n$ の値を解答してください．

問題文

$AB=32，\angle ABC=30^\circ$ なるひし形 $ABCD$ について，その内接円と辺 $AB,BC,CD,DA$ との接点をそれぞれ $E,F,G,H$ とします．四角形 $EFGH$ の面積を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$x$ についての $100$ 次方程式 $x^{100}+x^{99}+\dots+x+1=0$ の $100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{100}$ とします．このとき，

$$\left|\sum_{k=1}^{100}\frac{1}{\alpha_k-1}\right|$$

の値を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

正整数 $k$ であって，

$$2^k=a^b$$

を満たす正整数組 $(a,b)$ がちょうど $6$ 個存在するようなものを小さい順に $3$ 個求め，それらの総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $D,1:3$ に内分する点を $E,$ 三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とすると $\angle DHE=90°$ で，四点 $A,C,D,H$ は共円となりました。$BC=9$ の時，$AB^2$ を求めてください.

問題文

$360$ の正の約数 $24$ 個を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_{24}$ とします．$24$ 以下の正整数組 $(i,j,k)$ であって，$360=d_id_jd_k$ を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．