数直線上の動点のサイコロ操作による確率

解答

$\;P_\ell=\frac12+\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^n+\frac{1}{2^{\ell+1}}\Pr\bigl(\,\mathrm{Bin}(n,2/3)\ge\ell+1\,\bigr)\;$

または

$P_\ell=\frac12(1+\frac{1}{3^{n}})+\frac{1}{2^{\ell+1}}(\frac{\sum_{m=\ell+1}^{n}{2^{m}}_{n}{\mathrm{C}}_{m}}{3^{n}})$

または

$P_\ell=\frac12(1+\frac{1}{3^{n}})+\frac{1}{2^{\ell+1}}(1-\frac{\sum_{m=0}^{\ell}{2^{m}}_{n}{\mathrm{C}}_{m}}{3^{n}})$