角の性質

解説

線分PAとBDとの交点をN、点Qから下ろした垂線とBDとの交点をMとする。点Nと点Mが対角線BDを分ける比率をそれぞれ求める。

まず点Nが対角線BDを分ける比を考える。そのために、□ABPDについて考える。
仮定より、∠DBP=60°、∠QDC=15°。∠BDCは正方形の対角線なので45°であり、∠BDP=45°-15°=30°∠BDPと仮定より、三角形の内角の和から∠BPD=90°⋯②
正方形の角であるから、∠BAD = 90°で、□ABPDにおいて、向かい合う角の和が ∠BAD+∠BDP=180°になるため、4点A,B,P,Dは対角線 BDを直径とする同一円周上にある。
円周角の定理より、同じ弧に対する円周角は等しい。
弧ABに対する円周角より∠ADB=∠APB=45°となり、②から線分PAは∠BPDの二等分線である。△BPDにおいて角の二等分線の性質より、交点Nは対角線 BDをPB : PDの比に内分する。△BPDは90°60°30°の直角三角形なので、辺の比は PB : PD = 1 : √3である。したがって、BN : ND=1 : √3⋯④

次に、点Mが対角線を分ける比を求める
△BQMにおいて、仮定から∠QMB= 90°であり、∠MBQは正方形の対角線がなす角なので45°である。よって、△BQMは直角二等辺三角形となり、BM=QMである。⋯⑤
△DQMにおいて90°60°30°の直角三角形となり、辺の比は QM : MD= 1 : √3である。したがって⑤より、BM : MD=1 : √3となる。⋯⑥

【結論】
④、⑥より、
BN : ND=BM : MD=1: √3が成り立つ。
線分BDを1 : √3 に内分する点はただ1つしか存在しないため、点N と点M の位置は一致する。よって、交点と垂線の足は等しいことが証明された。

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