久々に想定解法に近い形で解けて嬉しかったです。
ところで、解説文の中段、「△CAE∽△CQA」とありますが、「△CAE∽△DQA」の誤記ではないでしょうか。
また、下から２行目の「△QAC」も「△QAD」ではないかと思いますのでご確認頂ければ幸いです。