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問題文

三角形の外側に3つの正方形を図のように作りました。橙・緑・紫の線分の長さを3辺の長さとする三角形（赤い三角形）の面積が57のとき、元の三角形（青い三角形）の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

正七角形2つが図のように配置されています。
赤色の線分の長さが7のとき、青色の線分の長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

本日不具合により画像が挿入できなかったため、
問題画像はTwitterをご参照ください。申し訳ございません。

問題文

漸化式
$$
a_{n+3}=3a_{n+2}-4a_{n+1}+2a_n\quad (n=1,2,\cdots)
$$および
$$
a_1=1, \; a_2=0, \; a_3=0
$$を満たす数列 $\{a_n\}$ を考える。次の空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{フ}$ に当てはまる数字を答えなさい。

• 漸化式
  $$
  a_{n+3}=3a_{n+2}-4a_{n+1}+2a_n\quad (n=1,2,\cdots)
  $$を満たす数列全体の集合を $V$ とする。数列 $a_n, b_n\in V$ および $c\in\mathbb{C}$ に対して，第 $n$ 項が $ca_n, a_n+b_n$ であるような数列をそれぞれ数列 $a_n$ の $c$ 倍，数列 $a_n, b_n$ の和と定義することにすると，この和とスカラー倍により $V$ は $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間になる（確かめよ）。ここで，$V$ の元 $a_n$ は，$a_1, a_2, a_3$ を定めることで完全に決定できる。すなわち，写像 $\varphi: V \to \mathbb{C}^3$ を
  $$
  \varphi(a_n)=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}
  $$で定めると，$\varphi$ は全単射である。しかも，$\varphi$ は線型写像だから，$\varphi$ はベクトル空間の同型になる。$V$ は $\fbox{ア}$ 次元である。また，$e_n^{(1)}, e_n^{(2)}, e_n^{(3)}\in V$ を
  $$
  \varphi(e_n^{(1)})=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\; \varphi(e_n^{(2)})=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\; \varphi(e_n^{(3)})=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}
  $$となるように定めると，$e_n^{(1)}, e_n^{(2)}, e_n^{(3)}$ は $V$ の基底になる。

• $V$ 上の線型変換 $L: V\to V$ を次のように定義する。$a_n\in V$ に対して，$L(a_n)$ を第 $1, 2, 3$ 項がそれぞれ $a_2, a_3, a_4$ である数列とする（$L$ が線型写像になることを確かめよ）。このとき，$L(a_n)$ の第 $n$ 項は $a_{n+\fbox{イ}}$ である。基底 $e_n^{(1)}, e_n^{(2)}, e_n^{(3)}$ のもとでの $L$ の表現行列 $L_A$ は
  $$
  L_A=\begin{pmatrix} \fbox{ウ} & \fbox{エ} & * \\ \fbox{オ} & \fbox{カ} & \fbox{キ} \\ \fbox{ク} & \fbox{ケコ} & \fbox{サ}\end{pmatrix}
  $$である。

• $L_A$ の固有値を $\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \lambda^{(3)}$ とする（$\lambda^{(1)}\in\mathbb{R}, {\rm Im}(\lambda^{(2)})>0, {\rm Im}(\lambda^{(3)})<0$）。このとき
  \begin{align}
  \lambda^{(1)}&=\fbox{シ}\\
  {\rm Re}(\lambda^{(2)})={\rm Re}(\lambda^{(3)})&=\fbox{ス}\\
  {\rm Im}(\lambda^{(2)})=-{\rm Im}(\lambda^{(3)})&=\fbox{セ}
  \end{align}である。

• 固有値 $\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \lambda^{(3)}$ に対応する固有ベクトルをそれぞれ $\alpha^{(1)}, \alpha^{(2)}, \alpha^{(3)}$ とする。固有ベクトルには定数倍の不定性があるが，$\alpha^{(j)}\;(j=1,2,3)$ の第 $1$ 成分が固有値 $\lambda^{(j)}$ に一致するようにとると
  \begin{align}
  \alpha^{(1)}=\begin{pmatrix} \lambda^{(1)} \\ \fbox{ソ} \\ * \end{pmatrix},\; \alpha^{(2)}=\begin{pmatrix} \lambda^{(2)} \\ \fbox{タ}\;i \\ * \end{pmatrix},\; \alpha^{(3)}=\begin{pmatrix} \lambda^{(3)} \\ * \\ \fbox{チツ}-\fbox{テ}\;i \end{pmatrix}
  \end{align}である。

• $\varphi(\beta_n^{(1)})=\alpha^{(1)}, \;\varphi(\beta_n^{(2)})=\alpha^{(2)}, \;\varphi(\beta_n^{(3)})=\alpha^{(3)}$ となる数列 $\beta_n^{(1)}, \beta_n^{(2)}, \beta_n^{(3)}\in V$ をとる。$\beta_n^{(1)}, \beta_n^{(2)}, \beta_n^{(3)}\in V$ は $V$ の基底をなすから，$V$ の任意の元 $a_n$ はこれらの線型結合で表すことができる。例えば，$a_n\in V$ が
  $$
  a_1=1, \; a_2=0, \; a_3=0
  $$を満たすとき
  $$
  a_n=\fbox{ト}\;\beta_n^{(1)}-\frac{\beta_n^{(2)}-\beta_n^{(3)}}{\fbox{ナ}\; i}
  $$が成り立つ。これを変形すると
  $$
  a_n=\fbox{ニ}-\left(\sqrt{\fbox{ヌ}}\;\right)^n\sin\left(\frac{n\pi}{\fbox{ネ}}\right)
  $$となる。また，$a_1,\cdots, a_{100}$ のうち $a_n$ が最大となるのは $n=\fbox{ノハ}, \fbox{ヒフ}$ のときである。ただし $\fbox{ノハ} < \fbox{ヒフ}$ とする。

※この問題では，数列とは写像 $a: \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ のことをいう。$n\in\mathbb{N}$ に対して，$a(n)$ のことを単に $a_n$ と表記する。また，記号の濫用であるが $a$ を $\{a_n\}, a_n$とも書く。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{フ}$ には，半角数字 0 - 9 または記号 - のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{フ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。

問題文

$y=\tan x \; \left(-\cfrac{\pi}{2}<x<\cfrac{\pi}{2}\right)$ の逆関数を $x=f(y)$ とする.このとき,
$$
S=\sum_{n=0}^\infty f\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)
$$を求めよ.答えは,整数ア・イを用いて
$$
S=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}\pi
$$と既約分数の形でかける.

解答形式

アとイをそれぞれ１行目、２行目に半角数字で入力せよ.

問題文

$n\;(\geq 2)$ を自然数とするとき，以下の試行を行うことを考える。

試行

• $n$ 人が $0,1,2$ のいずれかひとつの数を無作為に選ぶ。
• 人 $i\; (i=1,2,\cdots, n)$ が選んだ数を $a_i$ とする。各人 $i$ に対して，
  $$
  a_i\equiv\sum_{j=1}^n a_j\; ({\rm mod} \; 3)
  $$ならば人 $i$ は生存し，そうでないなら脱落する。この試行をmodじゃんけんと呼ぶことにする。

$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行い，全員が生存するか全員が脱落するとき，modじゃんけんの結果はあいこになると定義する。

$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行ってあいこになる確率を $p_n$ とするとき

$$
p_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\; p_3=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}},\; p_4=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カキ}}
$$

である。$n$ を $\fbox{ク}$ で割った余りが $\fbox{ケ}$ であるとき

$$
p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{サ}}{\fbox{シ}^n}
$$

であり，そうでないときには

$$
p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{ス}}{\fbox{シ}^n}
$$

である。また，

$$
\lim_{n\to\infty} p_n=\fbox{セ}
$$

が成り立つ。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ には，半角数字 0 - 9 または記号 - のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数はこれ以上約分できない形で解答してください。

問題文

$r$ を正の整数とする。$xyz$ 空間において，原点を中心とする半径 $\sqrt{r}$ の球面を $S_r$ で表すとき，次の問いに答えなさい。

1. $S_r$ が格子点を含まないような最小の $r$ を求めなさい。
2. $S_r$ が格子点を含まず，$r$ が $8$ の倍数であるような最小の $r$ を求めなさい。

※点 $(x,y,z)$ が格子点であるとは，$x,y,z$ がすべて整数であることをいう。

解答形式

改行区切りで，1行目に 1. の答えを，2行目に 2. の答えを入力してください。