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問題文

$x$ に関する $100$ 次方程式
$$x^{100}+x^{98}+x^{96}+...+x^4+x^2+2026=0$$ の重複を含めた $100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします． $$S_n=\sum_{k=1}^{100} \alpha_k^n$$ とするとき，以下の値の絶対値を求めてください．
$$\sum_{n=1}^{100} {S_n}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

いずれも $0$ でない $4$ 個の複素数 $x,y,z,w$ が
$$x+y+z+w=30$$ $$x^2+y^2+z^2+w^2={30}^2-2$$ $$x^3+y^3+z^3+w^3=30^3$$ $$x^4+y^4+z^4+w^4=2026$$
を満たします．このとき，$xyzw$ の値を求めてください．

解答形式

整数で解答してください．

問題文

${x}$ に関する ${2025}$ 次方程式

$${2026x^{2025}-2025x^{2024}-2x+1=0}$$

の重複を含めた ${2025}$ 個の複素数解を ${α_1, α_2, ...,α_{2025}}$ とします．以下の値を求めてください．

$$\sum_{k=1}^{2025}α_k$$

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 ${a,b}$ を用いて ${\frac{a}{b}}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

$x$ に関する $2$ 次方程式
$${x^2+3x+9=0}$$ の $2$ つの複素数解を$\alpha,\beta$ とします．
$${S_n=\alpha^n+\beta^n}$$ とするとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$${\prod_{n=1}^{243}S_n}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$2027$ 次の多項式 $f(x)$ は，$0$ 以上 $2027$ 以下の任意の整数 $n$ について $f(n)=\frac{243}{n+1}$ をみたします．また，
$${f(x)=0}$$ の重複を含めた $2027$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2027}$ とします． $${S_n=\sum_{k=1}^{2027}\alpha_{k}^{n}}$$ とするとき，以下の値は整数になるので，これを素数 $2029$ で割ったあまりを $M$ とします． $${\sum_{n=1}^{2027}S_n}$$ 以下の値を求めてください．
$$M+S_1$$

解答形式

整数で解答してください．
解答すべき値が「 $M+S_1$ を $2029$ で割ったあまり」ではないことに注意してください．

問題文

$x$ に関する $100$ 次方程式
$${x^{100}-20x^2+26x+2026=0}$$ の重複を含めた $100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{100}\alpha_{k}^{98}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $12$ 次方程式
$${x^{12}-12x^{11}+66x^{10}-220x^{9}+...+66x^2-12x+1\left(=\sum_{n=0}^{12}{}_{12}C_n(-x)^n\right)=2}$$ の $12$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{12}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{12}\alpha_{k}^{15}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $243$ 次方程式
$${x^{243}+3x^{242}+5x^{241}+...+485x+487\left(=\sum_{m=0}^{243}(2m+1)x^{243-m}\right)=243}$$ の重複を含めた $243$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{243}$ とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{243}\alpha_k^{243}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

正整数 $n$ であって以下を満たす $n$ と互いに素な正整数 $m$ が存在するものの総和を求めてください．

• $\dfrac mn$ の小数第 $i$ 位を $a_i$ とすると，正整数 $j$ であって任意の正整数 $k$ に対して $a_k=a_{j+k}$ を満たすようなものが存在して，かつその最小値が $6$ である．

解答形式

半角で解答してください．

2026/3/8 23:48に問題の不備解消のため太字部分を追加しました。

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり, 垂心を $H$ とします. $B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とし, 直線 $EF$ と直線 $AH,BC$ との交点をそれぞれ $G,K$ とすると, 三角形 $FKH$ の外接円と三角形 $EGH$ の外接円は再び線分 $BC$ 上の点 $X$ で交わりました.
$$KB=1　　EG:GK=4:5$$
が成り立つとき, 線分 $GX$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.

解答形式

半角で入力してください。

問題文

素数 $p = 10^9 + 7$ とし，整数 $N$ を $N = 10^{18} + 14000000047$ と定義します．

このとき，次の値 $S$ を $p$ で割った余りを求めてください．

$$S = \sum_{k=0}^{\lfloor N/2 \rfloor} \binom{N}{2k} 5^k$$

解答形式

半角左詰めでお願いします

問題文

以下の $2$ つの条件をともに満たす正の整数 $x$ の総和を求めてください．

• $\sqrt{105625 - x^2}$ は整数である．
• $x$ と $\sqrt{105625 - x^2}$ の最大公約数は素数である．

解答形式

半角左詰めでお願いします