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問題文
三角形$ABC$の外心を$O$とする. $AO$を直径とする円と$AB$，$AC$の交点のうち$A$でないものをそれぞれ$D，E$とすると$DE=3，CD=5$であり四角形$BCED$は内接円を持ちました.
このとき三角形$ABC$の面積を解答してください.
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$AB=30，AC=36$の三角形$ABC$があり線分$BC$上に$BDEC$の順に並び$BD:DE:EC=1:5:3$となるよう
点$D，E$をとると，線分$AB$と$AC$に接し点$D，E$を通る円が存在した.
このとき$BC$の長さの$2$乗を解答してください.
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
三角形$ABC$があり三角形$ABC$の外接円における点$A$の接線と直線$BC$は直交し,
$AB=15，AC=20$であった．このとき三角形$ABC$の面積を解答しなさい.
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください
問題文
凸四角形$ABCD$は内接円と外接円を持ち，$AB=5，DC=3，AB//DC$であった.
$AC$の長さの$2$乗を解答してください.
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
すべての正整数 $n$ に対して $a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}$ を満たす数列 $\{a_n\}$ に対して、次の式が成立する。
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n}=1998, \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{3n}}{3^n}=1106$$
この時、$|a_{1998}a_{1106}|$を求めよ。
解答形式
答えをそのまま入力しなさい。
問題文
三角形$ABC$があり,また点$C$を通る点$B$で$AB$に接する円$O$がある.円$O$上でありかつ
三角形$ABC$の内部に$BD=CD$となる点$D$をとり$AC$と円$O$の交点のうち$C$でないものを$E$とおくと
$AB=15，BC=10，DE=16$であった.このとき$AC$の長さの$2$乗は互いに素な正整数$a,b$によって$\frac{a}{b} $と表されるので$a+b$の値を解答してください.
ただし点$A,C,E$は$ACE$の順に一直線上に並んでいるものとする．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
$n$を自然数とします。$n$個の複素数からなる組$z(n)=(z_1,z_2,z_3,……z_n)$について、$z(n)$の要素からの異なる$i$個の選び方全てについてそれら(選んだ$i$個の要素)の総積を求め、それら(全ての選び方)の総和を$S(z(n),i)$とします。ある組$z(2024)$が存在して$$S(z(2024),1)=S(z(2024),2)=S(z(2024),3)=……S(z(2024),2022)=0,S(z(2024),2024)=-2$$を満たすとき、$$(z_1)^{2024}+(z_2)^{2024}+(z_3)^{2024}+……+(z_{2024})^{2024}$$の値は実数になるのでそれを計算して答えてください。
解答形式
値を1行目に半角で入力してください。
問題文
$A$ さんを含む $10$ 人の選手がゲームの格ゲー大会総当たり形式で行いました．
$A$ さん以外の $9$ 人の選手は以下の条件を満たしているとき， $A$ さんの勝利した回数としてあり得るものの総和を求めてください．
しかし，引き分けは考えないものとします．
- $9$ 勝 $0$ 敗の選手がちょうど $1$ 人いる．
- $7$ 勝 $2$ 敗の選手がちょうど $1$ 人いる．
- $6$ 勝 $3$ 敗の選手がちょうど $3$ 人いる．
- $2$ 勝 $7$ 敗の選手がちょうど $3$ 人いる．
- $0$ 勝 $9$ 敗の選手がちょうど $1$ 人いる．
解答形式
非負整数を半角数字で答えてください．