全問題一覧
公開日時: 2025年5月14日8:04 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$m!$ を正整数 $m$ の階乗とする。$n \ge 2$ なる整数 $n$ に対し、$m!$ の $n$ 進法表記における末尾の連続する $0$ の個数を $Z_n(m!)$ とする。
正整数 $k$ に対し、$Z_n(m!) = k$ を満たす最小の正整数 $m$ を $M(n, k)$ と定義する（存在しない場合は $M(n, k) = \infty$）。
素数 $p$ について、$M(p, k_1) = p^2$ を満たす正の整数 $k_1$ と、$M(p^2, k_2) = p^3$ を満たす正の整数 $k_2$ を考える。
$k_1 + k_2 = 21$ となる素数 $p$ の値をすべて求めよ。
解答形式
半角で1スペースおきにお願いします
最初は空けなくていいです
公開日時: 2025年5月14日0:04 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$n$ を $2$ 以上の整数、$k$ を正の整数する。
$m$ の階乗を $m!$ とし、$m!$ を $n$ 進法で表したとき、末尾に連続して並ぶ $0$ の個数を $Z_n(m!)$ とする。
$Z_n(m!) = k$ を満たす最小の正の整数 $m$ を $M(n, k)$ とする。(そのような $m$ が存在しない場合、$M(n, k) = \infty$ とする。)
問:
$p$ を $5$ 以上の素数とする。
$A_p = M(p, p-1)$ と定義する。
このとき、
$$M(A_p, k_0) = p^3 - p^2$$
を満たす正の整数 $k_0$ が一意に存在するような、最小の素数 $p$ を求めよ。
また、対応する $k_0$ の値を答えよ。
解答形式
$p,k_0$をこの順に半角1スペースおきに書いてください。
公開日時: 2025年5月13日18:24 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
△ABCで、内接円の半径を$r$とする。
$tanA＝1/k,a＝4k,r＝k$
のとき、△ABCの面積の最小値を求めよ。
解答形式
半角数字の既約分数で1行目に分子、2行目に分母を書いてください、整数の場合も分母を1としてください。
公開日時: 2025年5月13日0:17 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$1$ 以上 $461$ 以下の整数からなる数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_N)$ は以下を満たします.
- $a_1=309,a_N=461$.
- $a_n\neq 461\quad (n=2,3,\dots,N-1)$
- $n=2,3,\dots,N$ について, $(a_1+a_{n-1})a_n \equiv (1+a_1a_{n-1})\pmod{461}$
このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください.
ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.
公開日時: 2025年5月11日17:38 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
問題文
素数 $p$ と正の整数 $n$ が、以下の等式を満たすとします。
$$\frac{n^2+np+p^2}{n+p} = 2p-1$$
このような組 $(n,p)$ を全て求めてください。
解答形式
解が有限個であるとされた場合は、全ての解と、それ以外に解が存在しないことの証明を、簡単で構わないのでお願いします。無限個とされた場合は証明いらないので、何らかの形で解を表してください。証明に完全性がないと見なした場合は、採点機能がない都合上、99点をあげたいところも不正解とさせていただきます