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問
$0\leq\theta\leq\pi$を満たすとします。
$\alpha=\sin\theta$
$\beta=\sqrt{3}\cos\theta$
$\phi=\pi(\alpha+\beta)$
$\gamma=\sin(\frac{\phi}{4})$
$\delta=\cos(\frac{\phi}{4})$
としたとき、関数
$$
f(\theta)=\frac{1}{2}(\gamma-\delta)^{2}+(\gamma-\delta)
$$
の最大値、最小値とそのときの$\theta$の値をそれぞれ求めなさい。
注
最大値:その時の$\theta$
最小値:その時の$\theta$
のように解答してください。ただし$\theta$は弧度法での表記にすること。
$\pi$を含む分数は分子に$\pi$を、負の数は分子に"-"を持たせてください。
Texでの入力形式に合わせて入力してください。"$"マークは不要です。
問題文
座標平面上に点 P_k, Q_k を以下の規則に従ってとる。各試行においてサイコロを投げ、出た目を m = {1, 2, 3, 4, 5, 6} とする。
• 試行回数 n が奇数 (n = 2k - 1) のとき：
点 P_k (cos 2π/m, sin 2π/m)
• 試行回数 n が偶数 (n = 2k) のとき：
点 Q_k (cos -2π/m, sin -2π/m)
(1) n = 1, 2, 3, 4 回目のサイコロの目が順に 1, 4, 3, 6 であったとき、4点 P_1, Q_1, P_2, Q_2 が作る四角形の面積 S を求めよ。
(2) n = 4 のとき、出現した4点が正方形となる確率を求めよ。
(3) n 回の試行で得られた点集合を V_n = {P_1, Q_1, ..., P_k, Q_k} (ただし n = 2k または 2k - 1) とする。V_n から異なる4点を選んで作れる四角形の面積を S とし、同一の V_n 内における S の最大値を Smax、最小値を Smin とする。
このとき、比 R = Smax / Smin について、以下の問いに答えよ。
(i) 出目の組み合わせによって、比 R が最大値を取り得る最小の試行回数 N を求めよ。
(ii) n = N のとき、R が最大値をとる確率 P を求めよ。
解答形式
記述もお願いします
