SKG学院では,5×5のマス目を使い,とあるゲームが行われている.
ゲームのルールは以下である.
・お客さんと生徒がじゃんけんをする.勝った方が先手,負けた方が後手となる.
この時,あいこは考えないものとする.
・先手は黒の碁石,後手は白の碁石を,マスの上に交互に置いていく.
・同じマスには碁石は一つまでしか置けない.
・マス目が全て埋まった時,各行について次の条件を満たすものを特別な行と呼び,その個数を数える.
特別な辺:ある行の5マスを見た時,お客さんが置いた碁石の個数が偶数個であるもの.
・特別な行の個数が偶数であればお客さんの勝ち,奇数であれば生徒の勝ちとなる.
お客さんが勝つ確率をA,お客さんが勝つ時の碁石の置き方の総数をBとする.
A×Bの値を求めなさい.
但し,回転して重なるような碁石の置き方は区別しないとする.
半角数字で入力して下さい.
ある町 $A$ がある. 町 $A$ にはいくつかの家と$,$それらを双方向に結ぶいくつかの道路からなる. さらに$,$ 以下の条件を満たす.
・家は $2025$ 個からなり$,$ $1$$,$ $2$$,$ ⋯$,$ $2025$の番号がつけられている.
・道路は $2024$ 本ある.
・どの家からどの家へまでもいくつかの道路を通って移動可能である.
また$,$ 家 $i$ の 便利さ を以下のように定義します. ( $i$ の番号が付けられている家を家 $i$ と呼びます. )
$$
i \times (家iからちょうど1本の道路を通って移動可能な家の数)
$$
さらに$,$ 町 $A$ の スコア を$,$ すべての家の 便利さ の総和と定義します.
道路の結ばれ方としてありうるものすべてについて$,$ 町 $A$ の スコア の総和の正の約数の個数を求めてください.
スコア の総和の正の約数の個数を求め$,$ 1行に半角で解答してください.
必要であれば電卓や素数表を用いてください.
それぞれの面に $1,2,3,4,6,9$ が書かれたどの面も等確率に出る $6$ 面サイコロ $D$ があります.
$D$ を $1018$ 回転がしたときを考える.その出た目の総積を $T$ とし,そのときのスコアを以下のように定義します.
スコアの期待値が非負整数 $A$ を用いて $\dfrac{A}{6^{1018}}$ と表せるので $A$ を素数 $1013$ で割ったあまりを求めてください.
半角数字で非負整数を入力してください。
三角形 $ABC$ の内心と外心をそれぞれ $I, O$ としたところ,$AI=AO$ が成り立ちました.三角形 $ABC$ の内接円,外接円の半径がそれぞれ $142, 857$ であるとき,$\angle{A}$ 内の傍接円の半径を求めてください.
例)答えは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので,$a+b$ を解答してください.
円 $\Omega$ に内接する三角形 $ABC$ があり,$AB=13,BC=14,CA=15$ を満たしています.
線分 $BC$ の中点を $M$,$A$ を通り直線 $BC$ と直交する直線と $\Omega$ との交点のうち $A$ でない方を $D$ とします.
直線 $AM,DM$ と $\Omega$ との交点のうちそれぞれ $A,D$ でない方を $P,Q$ とし,直線 $BC$ と直線 $PQ$ との交点を $R$ とするとき,三角形 $MQR$ の面積は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答してください.
$N=9000^2\times 9001$ とし, 以下の条件を満たす整数の組の列 $(x_0,y_0,z_0), (x_1,y_1,z_1) ,\dots,(x_{N},y_{N},z_{N})$ を良い列 と呼びます.
このとき良い列について $(x_i,y_i,z_i)=(x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1})$ を満たす $i\;(i=1,2,\dots,N)$ の個数を $k$ としたとき $2^k$ をその列の 良さ とします. 良い列すべてについてその良さの総和を $S$ とします. このとき $S$ を素数 $8999$ で割った余りを求めてください.