数学の問題一覧

問題文

$(1)\ \tan\theta\sin2\theta\text{を}\cos2\theta\text{の式で表せ。}$

$(2)\ \tan\left(\frac{\pi}{24}\right)\text{を求めよ。}$

$(3)\ \pi<3.144\text{であることを証明せよ。}$

$\text{必要であれば，}\sqrt{2}<1.414,$

$\ \sqrt{3}>1.732,\ \sqrt{6}<2.449
\text{を使ってよい。}$

解答形式

記述式。明らかな飛躍や論理の破綻はダメヨ。

問題

$n$を自然数とし、$$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{2^{n}-1}$$を因数分解したときの因数の数を$n$を用いて求めよ。

問題文

$x~$についての方程式
$$x^4-3x^3+2x^2-3x+1=0$$
を考える．次の問いに答えなさい．ただし，1/6公式，1/30公式については証明なしに用いてよい．

$(1)~$この方程式の複素数解をすべて求めなさい．

$(2)~(1)$で求めた4つの解について，次の(ルール)に従って座標平面上に点を取ることを考える．

(ルール)　方程式の解が$~a+bi~$の形であらわされるとき，座標平面上に点$(a,b)$をとる．解が実数のときは$~b=0~$とみなす．たとえば，解が$~3-2i~$ならば，座標平面上に点$(3,-2)$をとる．

このルールに従って$(1)$の結果に基づいて4つの点を取り，そのうち$~y~$座標の値が最小のものを除いた3点をすべて通る放物線と$~x~$軸で囲まれた領域$~A~$の面積$~S~$を求めなさい．

$(3)~$領域$~A~$を$~x~$軸周りに1回転させてできる立体の体積$~V~$を求めなさい．

解答の際の注意

出題者ジャッジにより採点をします．
簡単に求める過程も示してください．
解説の内容に誤りがあればご指摘ください．

問題文

$$\frac{{}_{n}{\mathrm{C}}_{k}\quad}{{}_{n}{\mathrm{C}}_{i}\quad}$$($i$は1以上$n$以下の整数)が整数となるような正整数$n, k$($n\geq$$k$)のうち, 積$nk$の総和を求めよ.

サイコロを3つ振りその積について考えるとき以下の問いに答えなさい
（1）積が偶数になる確率はx/y、xyそれぞれを求めよ
（2）積が6の倍数になる確率はx/y、xyそれぞれを求めよ
（3）積が5の倍数または3の倍数である確率はx/y、xyそれぞれを求めよ

第1問

$\theta~$を媒介変数とし、曲線$~C_n~$を次のように定める。
$$C_n：\begin{cases}x=n(\theta-\sin\theta) \\
y=n(1-\cos\theta)\end{cases}$$
$n~$を自然数、$0\leqq\theta\leqq 2\pi$であるときの曲線$~C_n~$の長さを$~L_n~$とする。次の問いに答えなさい。

$(1)~L_1~$を求めなさい。
$(2)~$数列$\lbrace{ L_n\rbrace}$が等差数列であることを示しなさい。

第2問

2つのベクトル$\overrightarrow{a}＝(a_1,a_2)，\overrightarrow{b}＝(b_1,b_2)$がある。$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$として、これに関する次の問いに答えなさい。

$(1)$
$~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$を$~a_1，a_2，b_1，b_2，\theta~$を用いて表しなさい。答えのみで構いません。

$(2)$
$~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}＝a_1b_1+a_2b_2~$が成り立つことを示しなさい。

第5問

自然数$n$に対して、次の等式が成り立つことを示しなさい。ただし$i$は虚数単位である。
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$

第6問

次の和が発散することを示しなさい。
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

第4問

関数$f(x)$の第$n$次導関数を$f^{(n)}(x)$とし、$f(x)$を次のように定める。$$f(x)=\sin x$$これについて次の問いに答えなさい。

$(1)~f^{(1)}(x)$を求めなさい。答えのみで構いません。
$(2)~f^{(n)}(x)$を$n$を用いた1つの式で表しなさい。また、それを数学的帰納法を用いて証明しなさい。

問題

グラフ$$xy^{2}-2x^{2}y+xy+30x-15y=15$$と$$y^{2}-x^{2}y+6xy-2x^{3}-3x^{2}+28x+3y=88$$がある。
この2つのグラフの交点全てを結んでできる多角形の面積を求めよ。

解答形式

整数又は少数を使って答えてください。

問題文

AとBにはそれぞれ−１，０，１，２，３と書かれたボールが一個ずつ入っています。一度に一個だけひきそれの数字を確認したら戻します。また、この動作を５回行います。出た数の合計で勝敗を決めます。このときBは１，０，２，１，２と引いたときAが勝つ確率を求めなさい

解答形式

とくには問いません。私がみて判断できれば正解とします。