数学の問題一覧
問題文
$3$ つの円が互いに外接し、かつ各円が直線 $l$ に接している。ある円と直線 $l$ との接点を $O$ とし、他の $2$ 円との接点をそれぞれ $A$ $,$ $B$ とする。 $O$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。線分 $AB$ の長さを $d$ として、線分 $OH$ の長さを $d$ を用いて表せ。
$$問 題$$
$自然数Nと素数p,q,rが以下の式を満たすとき、Nを求めよ。$
$$
\begin{cases}
N＝p^qq^pr\\
p ^q +q ^p＝r
\end {cases}
$$
問題文
$O$ を原点とする座標空間において，点 $A(1,0,0)$ を通り，$\overrightarrow{\ell}=(1,1,1)$ に平行な直線を $\ell_0$,
$\overrightarrow{m}=(0,0,1)$ に平行な直線を $m_0$ とする．
また，円$$
C:\ x^2+y^2=1,\ z=0
$$上に相異なる２点 $L,M$ をとる．
点 $A$ が点 $L$ に一致するような $z$ 軸周りの回転移動によって$\ell_0$ が移る直線を $\ell_1$ とし，点 $M$ を通り $m_0$ に平行な直線を $m_1$ とする．
さらに，２直線 $\ell_1,m_1$ に対し，$\ell_1$ 上に点 $P$，$m_1$ 上に点 $Q$ を，
線分 $PQ$ の長さが最小となるようにとる．
ただし，$\ell_1,m_1$ が交わるとき，線分 $PQ$ はその交点であるとする．
相異なる２点 $L,M$ が円 $C$ 上を動くとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲を $K$ とする．$K$ の体積を求めよ．
解答形式
答のみで構いません。
問題文
ウサギとカメが、$1000$ $\mathrm{m}$ の距離を競走した。カメは $5$ $\mathrm{m/}$分 の速度で出発し、休むことなく歩き続けた。しかし、進むにつれその速度は $1$ $\mathrm{m}$ 当たり $0.001$ $\mathrm{m/}$分 の割合で連続的に遅くなった。一方、ウサギは $200$ $\mathrm{m/}$分 の速度で走り続けたが、途中で一休みした。 競走の結果、カメはウサギよりも $1$ 分早くゴールした。このとき、ウサギは何分休んでいたか。
解答形式
$\ln{2}=0.693, \ln{5}=1.609$ とし、整数(半角数字)で解答せよ。
問題文
$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=z^{2}+a z+b
$$
とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $\lvert z\rvert \le 1$ を満たしている。
点 $f(1+i)$ が複素数平面上でとりうる範囲の面積を求めよ。
解答形式
問題文
$\alpha, \beta$ を複素数とし，$0$ でない複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=\alpha z^{2}+z+\dfrac{\beta}{z}
$$
とおく。$\alpha, \beta$ は
$$
\lvert f(1)\rvert \le 2 \quad \text{かつ} \quad \lvert f(i)\rvert \le 2
$$
を満たしながら動く。ただし，$i$ は虚数単位である。
$\lvert f(1+i)\rvert$ の最大値を求めよ。
解答形式
・左詰め、半角数字・記号
・根号は√ 、円周率はπを用いる
・項を無理にまとめる必要はない。項が2つ以上あるとき、値が大きい順に入力(通分しなくてよい)
例 √6+3π/10、 3√3+2√2/3+1/3
問題文
$a,b$ を実数とする．$1$ 以上の実数 $k$ に対し，$x,y$ についての連立方程式
$$
\begin{cases}
k\cos x + \dfrac{1}{k}\sin y = a\\[6pt]
k\sin x + \dfrac{1}{k}\cos y = b
\end{cases}\
$$
が $0\le x\le\pi,\ 0\le y\le\pi$ の範囲に解をもつような点 $(a,b)$ の存在する領域を $D_k$ とし，$ab$ 平面における $D_k$ の面積を $S(k)$ とする．
$S(1)$ を求めよ．
解答形式
・左詰め、半角数字・記号
・根号は√ 、円周率はπを用いる
・項が2つ以上あるとき、値が大きい順に入力(通分しなくてよい)
例 √6+3π/10、3+√3+π/2
問題文
以下の $x$ に関する $3$ 次方程式は相異なる $3$ 個の複素数解をもつので，それぞれの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とします．
$$x^3-2^{2025}x^2+24x-2^{2023}=0$$
このとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$$
解答形式
整数で解答してください．
補足
https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの31番の問題と同じです．
問題文
以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$
このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} ({\alpha_k}^{100}+{\alpha_k}^{99})$$
解答形式
整数で解答してください．
補足
https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題と同じです．
問題文
$\omega$ を $1$ の $3$ 乗根のうち $1$ でないものの一方とします．
$$S={\sum_{k=1}^{2026} \frac{1}{k^2+(2\omega+1)k-1}}$$
としたとき，$\left|\frac{S-1}{S}\right|$ を求めてください．
解答形式
求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ を解答してください．