数学の問題一覧
素数 $p, q$ に対して、$4p^3 + 27q^2$ が平方数となるような組 $(p, q)$ をすべて求めよ。
答える際には(p,q)の各組の積を足した数を入力してください。
·解答例(p,q)=(2,3),(5,7)のとき
2×3+5×7=41から41を入力してください。
もし存在しないのであれば0を入力してください
【問題】
自然数 $n$ に対して、$f(n) = \lfloor \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \rfloor$、$g(n) = \lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor$ と定義する。
ただし、$\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）を表す。
このとき、$f(1729) + g(1729)$ の値を求めよ。
※自動判定のため、答えの数値のみを半角で入力してください。（入力例：42）
【問題】
2つの自然数 $n, m \ (n < m)$ に対し、$n$ から $m$ までの連続する自然数の総和を $S$ とします。
また、$m$ の桁数を $k$ とするとき、以下の方程式 $(*)$ を考えます。
$$S = n \times 10^k + m$$
（例：$n = 13, m = 53$ のとき、$S = 13 + 14 + \dots + 53 = 1353$ であり、$13 \times 10^2 + 53 = 1353$ となるため、方程式を満たす。）
$n$ と $m$ がともに 同じ桁数 $k$ のゾロ目（すべての桁の数字が同じ自然数）であるとき、条件 $(*)$ を満たす組 $(n, m)$ をすべて求めてください。
※申し訳ないのですが(n,m)の正解が入力できなかったので(n,m)=(1,2),(3,4),(2,5)のときはn=1,2,3m=2,5,4と入力してください…。nが小さい順に組を並べていってください。もしnの値が等しかったときはその部分だけmの値が小さくなるよう並び替えてください…
解答例 (n,m)=(5,6),(77,88)(77,3)のとき
n=5,77,77
m=6,3,88
【問題】
数列 ${a_n}$ を $a_n=3 \cdot 2^{n-1}$ とします。
また、この数列の初項から第$n$項までの積を $P_n$ とします。
（$P_n = a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n$）
$\log_{10}2=0.30$、$\log_{10}3=0.48$ として、$P_n$ が初めて100桁以上の整数となるような自然数 $n$ を求めてください。
※自動判定のため、答えの数値のみを半角で入力してください。（入力例：42）
【問題】
自然数 $n$ に対して、$n$ を10進法で表したときの各位の数の和を $S(n)$ とする。（例えば、$S(2026) = 2 + 0 + 2 + 6 = 10$ である。）
4桁以下の自然数 $n \ (1 \leqq n \leqq 9999)$ について、以下の問いに答えよ。
(1) $S(2n) = 2S(n)$ を満たす $n$ の個数を求めよ。
(2) $S(2n) = S(n)$ を満たす $n$ の個数を求めよ。
(3) 以下の値をそれぞれ求めよ。
(i) $\sum_{n=1}^{9999} S(n)$
(ii) $\sum_{n=1}^{9999} S(2n)$
※自動判定のため、(1)、(2)、(3)(i)、(3)(ii) の解答 を、上から順に入力してください
【問題】
定数 $p \ (p \neq 1)$ を用いて、関数 $g(x) = x^3 - 3x^2$ のグラフ（曲線 $C$）上で次のような操作を繰り返す。
- 最初の点：曲線 $C$ 上に点 $Q_1(x_1, g(x_1))$ をとる。ただし、$x_1 = p$ とする。
- 次の点の決め方：自然数 $n$ について、点 $Q_n(x_n, g(x_n))$ における接線を $l_n$ とし、接線 $l_n$ が曲線 $C$ と再び交わる点を次の点 $Q_{n+1}(x_{n+1}, g(x_{n+1}))$ とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 接線 $l_n$ の傾きを $m_n$ とする。数列 ${m_n}$ の一般項を $p$ と $n$ を用いて表せ。
(2) 曲線 $C$ と接線 $l_n$ で囲まれた部分の面積を $S_n$ とする。数列 ${S_n}$ の一般項を $p$ と $n$ を用いて表せ。
※自動判定のため、解答には求めた式に $p=2, n=3$ を代入したときの $m_3$ を1行目に、 $S_3$ を２行目に入力してください。
例$m_3$=15,$S_3$=150のとき
15
150
【問題】
実数 $x, y, z$ が以下の連立方程式を満たすとする。
$$
x + y + z = 1
$$
$$
x^2 + y^2 + z^2 = 5
$$
$$
x^3 + y^3 + z^3 = 4
$$
(1) $x^4 + y^4 + z^4$ の値を求めよ。
(2) 自然数 $n$ に対して $S_n = x^n + y^n + z^n$ とおく。$S_{n+3}$ を $S_{n+2}, S_{n+1}, S_n$ を用いて表せ。
(3) $x^7 + y^7 + z^7$ の値を求めよ。
(4) $S_{2026}$ を $7$ で割った余りを求めよ。
※自動ジャッジのため、(2)の証明ができたら第2行には「導出完了」と入力してください。
·解答例 (1)が4,(2)が導出できた,(3)が7,(4)が1のとき
4
導出完了
7
1
問題文
【問題】
対数表を用いずに、以下の問いに答えよ。
(1) 次の不等式を示せ。
$$
\frac{3}{10} < \log_{10}(2) < \frac{4}{13}
$$
(2) 次の不等式を示せ。
$$
0.47 < \log_{10}(3) < 0.48
$$
解答形式
(1),(2)はそれぞれ証明完了としてくれれば問題ないです。※(1)は１行目(2)は2行目にお願いします
·解答例 (1),(2)がどちらも示せたとき
証明完了
証明完了
【問題】
次の和 $S$ の整数部分を求めよ。
$$
S = \sum_{n=1}^{100} \left( \sqrt{n(n+1)} - n \right)
$$
整数部分のみ答えてくださいね
問題文
原点を中心とする単位円 $C_0$ と，直線 $l:x=a$ $(|a| \leq 1)$ に対して，$C_0$ が $l$ から切り取る線分を直径とする円 $C_1$ を考える（ただし，$C_0$ と $l$ が接する場合は，その接点を $C_1$ とする）。
実数 $a$ を $-1$ から $1$ まで連続的に動かすとき，$C_1$ の通過する領域を求めよ。また，その領域の面積を求めよ。
註
「円」と「円板」とは厳密に区別すること（例えば，$x^2+y^2=1$ は前者，$x^2+y^2 \leq 1$ は後者である）。 本問の $C_0$ 及び $C_1$ は「円」であって「円板」ではない。
解答形式
求める面積は，$k$ を実数として $k\pi$ と表されます。この定数の平方である $k^2$ を入力してください。