数学の問題一覧

問題文

数列 ${a_n}$ ($n \ge 0$) が、初期値 $a_0 = 3$ および以下の漸化式で定義されるとする。
$$a_{n+1} = a_n^2 - 2 \quad (n \ge 0)$$
この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。
ただし、黄金比を$Φ$とする。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

$\log_2 25$ の小数部分をbとする
このとき、$\log_{10}2$ をbを用いて表せ

解答形式

答えのみ

問題文

$a>0,b>0$ のとき、
$a^{4}+4a^{3}b+2a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\geq0$ を示せ

解答形式

記述形式でお願いします
入力がめんどくさい方は、紙に書いて、twitterのDMに送ってください

問題文

$m!$ を正整数 $m$ の階乗とする。$n \ge 2$ なる整数 $n$ に対し、$m!$ の $n$ 進法表記における末尾の連続する $0$ の個数を $Z_n(m!)$ とする。
正整数 $k$ に対し、$Z_n(m!) = k$ を満たす最小の正整数 $m$ を $M(n, k)$ と定義する（存在しない場合は $M(n, k) = \infty$）。

素数 $p$ について、$M(p, k_1) = p^2$ を満たす正の整数 $k_1$ と、$M(p^2, k_2) = p^3$ を満たす正の整数 $k_2$ を考える。
$k_1 + k_2 = 21$ となる素数 $p$ の値をすべて求めよ。

解答形式

半角で1スペースおきにお願いします
最初は空けなくていいです

問題文

$n\;を自然数とする$
$n\;が15の倍数でないとき、n^{4}+14\; は素数でないことを示せ$

解答形式

記述形式でお願いします
入力がめんどくさい方は、紙にでも書いて、twitterのDMに送ってください

四面体 $\mathrm{ABCD}$ は
$\ \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=6,\ \mathrm{AD}=\mathrm{BD}=4,\ \mathrm{CD}=5$
を満たす．このとき，四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積 $V$ と，外接球の半径 $R$ を求めよ．

解答においては，$1$ 行目に $V^2$ を，$2$ 行目に $R^2$ を記して答えよ．
ただし，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入せよ．

円に外接する凸四角形 $\mathrm{ABCD}$ について，辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ と円との接点をそれぞれ $\mathrm E,\mathrm F,\mathrm G,\mathrm H$ とし，$\mathrm{AE},\mathrm{BF},\mathrm{CG},\mathrm{DH}$ の長さをそれぞれ $a,b,c,d$ とする．このとき，四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を $a,b,c,d$ により表せ．

ただし，解答に際しては $a=3,\ b=4,\ c=5,\ d=7$ の場合の $S^2$ の値を答えよ．
整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ．

互いに外接する3つの円 $J,K,L$ があり，$K$ と $L$ の接点を $\mathrm A$，$L$ と $K$ の接点を $\mathrm B$，$J$ と $K$ の接点を $\mathrm C$ とする．$\triangle\mathrm{ABC}$ について，頂点 $\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C$ の対辺の長さをそれぞれ $a,b,c$ とするとき，円 $J,K,L$ の半径を求めよ．

ただし，解答に際しては $a=17,\ b=13,\ c=14$ の場合の $J$ の半径の値を答えよ．
整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ．

問題

$p$を$3$より大きい素数とする
$S=\sum_{k=1}^{p-2} k \cdot (k!) \cdot ((p-k-1)!)$　
を$p$で割った余りを求めよ。

解答形式

解答は既約分数で表せるので、
1行目に分子、
2行目に分母
を半角で書いてください
分母は1になる場合も書いてください

問題文

$0.017$$<$$tan1°$$<$$0.018$
を示せ。

解答形式

大学数学なし
自己流ですが、解説を付けているのでぜひ挑戦してみてください

問題文

$p$ を $p \ge 5$ なる素数とする。集合 $G_p = {1, 2, \dots, p-1}$ の部分集合 $S$ が自己双対的であるとは、
$$a \in S \implies a^{-1} \pmod p \in S \quad \text{かつ} \quad a \in S \implies p-a \in S$$
が全ての $a \in S$ に対して成り立つことと定義する（ここで $a^{-1}$ は $\pmod p$ における $a$ の乗法逆元）。

$N_p$ を、$G_p$ の自己双対的な部分集合 $S$ の総数とする（空集合 $\emptyset$ も含む）。

$N_p = 32$ となるような素数 $p$ ($p \ge 5$) をすべて求めよ。

解答形式

解を半角1スペースおきに小さい順に並べてください

問題文

n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。

量 $Q_n$ を次のように定義する。
$$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$
ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。

次の極限値を求めよ。
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$

ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。

解答形式

半角で