利用規約更新のお知らせ (2024年2月7日1:16)
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数学の問題一覧

カテゴリ
以上
以下

C

natsuneko 採点者ジャッジ 難易度:
1日前

12

問題文

問題の数値設定に不備があったため、数値設定を変更します。申し訳ありません。(三角形 $DEH$ の面積を $9$ から $3$ に変更しました。)

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$, 外心を $O$ とします. また, 直線 $BH$ と線分 $AC$ の交点を $D$, 直線 $CH$ と線分 $AB$ の交点を $E$ とします. そして, 線分 $DE$ の中点を $N$, 直線 $HN$ と直線 $AO$ の交点を $X$ とします. このとき, $A, X, O$ はこの順に並び, $AX = 3, XO = 5$ が成立しました. また, 三角形 $DEH$ の面積が $3$ であったとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

答えは, 正整数 $a, b$ を用いて $\sqrt{a} + b$ と表されるので, $a+b$ の値を半角数字で解答してください.

B

natsuneko 自動ジャッジ 難易度:
1日前

23

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について, 線分 $BC$ 上に点 $D$ を取り, 三角形 $ABD$ の垂心を $H_1$, 三角形 $ADC$ の垂心を $H_2$ とします. すると, $BD = DC = H_1 H_2 = 10$, $H_1 D : H_2 D = 2 : \sqrt{10}$ が成立しました. このとき, 三角形 $ABC$ の面積としてあり得る値の総積を解答してください.

解答形式

答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.

D

natsuneko 自動ジャッジ 難易度:
1日前

10

問題文

こちらも問題に不備があったため、数値設定を変更いたしました。不備が重なってしまいたいへん申し訳ありません。

正六角形 $ABCDEF$ の線分 $AC, BC, DE$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ を取ったところ, $PQ \perp BC, PR \perp DE, \angle QAR=60^\circ$ が成立しました. また, 三角形 $APQ$ の外心を $O$, 三角形 $APR$ の外心を $O^\prime$ とし, 三角形 $AOO^\prime$ の外接円と三角形 $APQ$ の外接円の交点を $X( \neq A)$, 三角形$AOO^\prime$ の外接円 と三角形 $APR$ の外接円の交点を $Y( \neq A)$ とすると, $BY=7$ が成立しました. このとき, 線分 $DX$ の長さを求めて下さい.

解答形式

答えは最大公約数が $1$ である正整数 $a,b, c$ によって $\cfrac{\sqrt{b}-c}{a}$ と表されるため, $a+b+c$ の値を半角数字で解答してください.

A

natsuneko 自動ジャッジ 難易度:
1日前

16

問題文

三角形 $ABC$ の線分 $AB$ 上に点 $D$, 線分 $DC$ 上に点 $E$, 線分 $AC$ 上に点 $F$ を取ったところ, 以下が成立しました.
・ $\angle AED = \angle ABE = \angle EFC = 60^\circ$
・ $\angle EAC = 19^\circ$
・$DF = CF$
このとき, $\angle EBC$ の大きさは, 度数法で $N^\circ$ と表されるため, $N$ を解答してください.

解答形式

答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.

No.07 三角形と必要条件

Prime-Quest 自動ジャッジ 難易度:
4日前

0

問題

整数 $x,y$ と数列 $z_k=|x-k|+|y-k|$ に対し,次の命題は $xy\leqq 7!$ の反例を何組もつか.

  • ある非負偶数 $k$ で $z_k\lt 2$ は,辺長 $x^3+8,\ y^3+8,\ 6xy+8$ の三角形が存在する必要条件である.

解答形式

半角数字で入力してください.


問題文

実数全体に対して定義され実数値をとる関数 $f$ であって,任意の実数 $x , y$ に対して

$$f \left( y f \left(x \right) - f \left(y \right) \right) = f \left( x f \left(y \right) +1 \right) -x$$

を満たすものをすべて求めよ.

漸化式

MARTH 自動ジャッジ 難易度:
9日前

10

正の実数の組 $(x_1,x_2,\dots,x_5)$ に対し, $a_1=b_1=1,b_6=100$ および $n=1,\dots,5$ について以下を満たす実数の組 $(a_1,a_2,\dots,a_6,b_1,b_2,\dots,b_6)$ を考えます.
$$a_{n+1}=x_n a_n-n b_n,\quad b_{n+1}=x_n b_n$$
このとき, $a_6$ として取りうる値には最大値が存在し, それを $M$ とします. $M$ の最小多項式 $P$ が存在するので, $P(500)$ を求めてください. ただし, $P$ の最高次の係数は $1$ とします.

Final 2にする予定だったもの

seven_sevens 採点者ジャッジ 難易度:
10日前

1

間違えて公開してしまい、回答を一件いただいているので、泣く泣くボツ問としてここに供養します。

$\min(f(x))$を関数$f(x)$の$-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}$における最小値とする。
以下の値を求めよ。
$$\int^{16}_0\min(\tan^2{x}+a\cos{x})da$$
ただし$a$と$x$は独立している。

No.06 二変数の整数解

Prime-Quest 自動ジャッジ 難易度:
11日前

0

問題

$(1)$ 方程式 $12x^2+4xy-21y^2=32x-32y+3$ の整数解 $(x,y)$ を求めよ.
$(2)$ 不等式 $z^2\lt a(a+1)z-a^3$ の奇数解 $z$ が二つとなる実数 $a$ の範囲を求めよ.

解答形式

$a^{xy}$ がとりうる整数の和を半角数字で入力してください.

OMC没問6

natsuneko 自動ジャッジ 難易度:
16日前

4

問題文

三角形 $ABC$ の内接円と $BC$ の接点を $D$, 三角形 $ABC$ の $\angle A$ 内の傍接円と $BC$ の接点を $E$ とし,直線 $AD$ と $\angle A$ 内の傍接円の交点のうち,$A$ から遠い方を $F$ とします.すると,
$$\angle DAE=30^\circ, \ AF=18, \ AB+CD=12$$

が成立しました.このとき,三角形 $DAE$ の面積の $2$ 乗を求めて下さい.

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{b}{a}$ と表されるため,$a+b$ の値を解答して下さい.

No.05 連立方程式と不等式

Prime-Quest 自動ジャッジ 難易度:
18日前

2

問題

次の実数 $a,b,c$ に対し,つねに $|ax+by|\leqq |c|$ となる実数 $x,y$ の和の値域幅を求めよ.

  • $p,q$ の連立方程式 $ap+bq=c,\ (b-c)p+(c+a)q=a+7b$ は解を複数個もつ.

解答形式

半角数字で入力してください.

No.04 平方根と有理数

Prime-Quest 自動ジャッジ 難易度:
25日前

3

問題

$(1)$ $1-\dfrac{2}{x}=\sqrt{2-\sqrt 3}$ のとき,$x^3=\dfrac{ax+b}{|x^2-20|}$ となる有理数 $a,b$ を求めよ.
$(2)$ $60|p-q\sqrt 3|\lt 1\leqq p-4\leqq 100$ を満たす整数 $p,q$ は存在するか.

解答形式

命題が真なら $|a+1|$,偽なら $|b+1|$ の値を半角数字で入力してください.