数学の問題一覧
問題文
鋭角三角形 $ABC$ について, 垂心を $H$, 内心を $I$, 外心を $O$ とし, また, $C$ から $AB$ に下した垂線の足を $D$, $B$ から $AC$ に下した垂線の足を $E$, $A$ から $BC$ に下した垂線の足を $F$ とします. すると, $H,I,O$ は相異なり, かつ $AH=AO=10,HI:HO=41:80$ が成立しました. このとき, $DF+EF$ は互いに素な正整数 $a,b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ によって, $\cfrac{b \sqrt{c}}{a}$ と表されるため, $a+b+c$ の値を解答して下さい.
解答形式
半角整数値で解答して下さい.
問題文
$8\times 8$のマス目に$1\times 2$のタイルと$1\times 1$のタイルを隙間なく並べる方法のうち，以下の条件を満たすものを考えます．
- どの行にも$1\times 1$のタイルがちょうど$1$つ含まれる．
このような並べ方のうち，横向きの$1\times 2$のタイルの個数が最大となるものは何通りありますか？
ただし，回転や裏返しによって一致する並べ方は区別します．また，$1\times 2$のタイルが横向きであるとは，長辺が行に平行であることを指します．
解答形式
半角数字で入力してください．
問題文
下図のようにブロックがピラミッド状に積んであり，各ブロックに $1$ つずつ整数を割り当てていきます．このとき，最下段に並ぶブロックが $N$ 個であるとき，以下の条件を満たすように整数を割り当てることとします．
・ 最下段の左端のブロックには $1$ を，右端のブロックには $N−2$ を，また左から $i$ 番目のブロック $(2 \leq i \leq N−1)$ には $i−1$ をそれぞれ割り当てる．
・最下段以外のブロックには，そのすぐ下に位置する左右 $2$ つのブロックに割り当てられた数の積を割り当てる．
最も上にあるブロックに割り当てられた整数を $N−1$ で割った余りを $f(N)$ とします．このとき，$f(10^9 + 8) + f(10^9 + 404)$ の値を解答して下さい．ただし, $10^9 + 7, \ 5×10^8 + 3, \ 10^9 + 403, \ 5×10^8 + 201$ はいずれも素数であることは既知としてよいです．
解答形式
例）半角数字で解答して下さい.
問題文
以下の値を求めてください。
$$
\sum_{1\leqq m<n\leqq 9} \biggl(\cos\dfrac{m\pi}{10}+\cos\dfrac{n\pi}{10}+1\biggr)^3
$$
解答形式
答えは正整数になるので、それを半角数字で解答してください。
問題文
$14^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を $a_1,\ldots,a_{16}$ とおき，$15^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を$b_1,\ldots,b_{16}$ とおきます．この二つの数列のスコアを
$$
\sum_{k=1}^{16} \frac{a_k}{b_k}
$$
で定めます．数列 $a,b$ の組として考えられるものは $(16!)^2$ 通りありますが，これらの組におけるスコアの（相加）平均を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて，$\dfrac{p}{q}$ と表されるため，$p+q$ を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
「オ」「タ」「チ」の $3$ 種類の文字で構成される長さ $n$ の文字列に対して，オオタチ度を，その文字列の中で連続する $4$ 文字が「オオタチ」となっているようなものの数と定義します．
たとえば「チタタオオタチオタチタオオオタチ」のオオタチ度は $2$ で，「チタオオチタオオチタオオ」のオオタチ度は $0$ です．
長さが $n$ で構成する文字が $3$ 種類のため，文字列としては $3^n$ 種類のものが考えられます．これらのオオタチ度の相加平均を $f(n)$ とします．
$f(n)$ が正整数になる最小の $n$ を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
以下の条件をともに満たす $12$ 桁の正整数 $M$ はいくつありますか？
- $M$ を $3$ 桁ずつに区切って得られる $4$ つの正整数を左から $A,B,C,D$ として定めると，$\lvert A - B + C - D\rvert$ は $11$ の倍数かつ $13$ の倍数となる．
- $M$ を $4$ 桁ずつに区切って得られる $3$ つの自然数を左から $E,F,G$ として定めると，$\lvert E - F + G\rvert$ は $137$ の倍数となる．
ただし，$M,A,E$ の最高位の数字は $0$ でないものとします．
解答形式
条件を満たす $12$ 桁の正整数 $M$ の個数を，半角数字で余分な空白や改行を入れずに解答してください．
問題文
三角形 $ABC$ の辺 $AB , AC$ （端点を除く）上にそれぞれ点 $P , Q$ があり，直線 $BC , PQ$ は，半直線 $BC$ 上の点 $R$ で交わっています．また，線分 $BC , PQ$ 上にそれぞれ点 $M , N$ があり， $\dfrac{BM}{MC} = \dfrac{PN}{NQ} = \dfrac{BR}{RC}$ を満たしています．いま，直線 $AN$ と $\triangle ABC$ の外接円の交点のうち，$A$ でない方を $X$ としたところ，$\angle MNR = \angle MXR = 90^{\circ}$，$\angle BXM = 63^{\circ}$ がそれぞれ成り立ちました．このとき，$\angle BAC$ の大きさを度数法で求めてください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$$\sum_{k=1}^{n}x^{-2k} =0 [n \in {\mathbb N}]$$
というxの方程式がある。
このとき、以下の問いに答えよ。
なお、この方程式には実数解が存在しない。
1)実数解を持たないことを示せ。(証明必須)
2)解の個数を示せ。(証明不要)
3)n=4の時の解の全てを示せ。(証明不要)
解答形式
1)には証明を、
2)には数値もしくは数式を、
3)には直交座標表示もしくは三角関数による極座標表示を推奨する。
例
1)自明
2)1729n+65536
3)x=1+3i,3(cosπ/3+isinπ/3)
もちろんこれらが答えでは無い。
メモ
2)を解く際は解の式を作成するべきだろう。
wolfram alphaに頼ることはおすすめしない。