数学の問題一覧

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，外心を $O$，直線 $CH$ と直線 $AB$ の交点を $F$，直線 $BC, AC$ について $F$ と対称な点をそれぞれ $X, Y$ とし，直線 $BX$ と直線 $AY$ の交点を $P$ とします．$\angle FOX=\angle AFP$ かつ $FH=1, HC=7$ が成り立つとき，円 $ABC$ の半径としてありうる値の二乗の総和は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

正整数 $3$ つの集合 $S$ であって，以下を同時にみたすものは全部でいくつありますか？

• $S$ に属する $3$ 数を十進数表記したときすべて $3$ 桁であり，それぞれの桁に $1, 2, ..., 9$ がすべて $1$ 回ずつ現れる．
• $S$ から相異なる $2$ 数 $a, b$ を選ぶ方法であって，$a + b = 1110$ をみたすものが存在する．

解答形式

半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．

$$ 数列a_{n}を次のように定義する$$$$a_{1}=4,a_{2}=1,a_{3}=16,a_{4}=9……
$$$$a_{2n-1}=(2n)^{2},a_{2n}=(2n-1)^{2}$$$$この時一般項a_{n}と和S_{n}を奇偶で場合分け$$$$せず1つの式でそれぞれ求めよ
$$$$(ただしS_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}とする)$$$$解答法はa_{n}=...,S_{n}=…です$$

問題文

以下の式を満たす素数の組$(a,b,c,d)$について、$abcd$の総和を求めよ。
$$
4a²+b²+c²=d²
$$

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$0$時$0$分〜$23$時$59$分とする時刻$A$時$B$分について、$60A+B,100A+B$が共に平方数となるとき、$A×B$の総和を求めよ。

解答形式

半角数字で解答して下さい。

問題文

関数列$｛f_n(x)｝$を、次の漸化式で定める。
$$f_1(x)=x,f_{n+1}(x)=x^{f_n(x)}$$
このとき、数列$｛lim_{x→0}f_n(x)｝$の収束・発散・振動を調べ、収束すればその値を、振動すれば現れる2数を求めなさい。

解答形式

発散する場合→正の無限大に発散、負の無限大に発散のいずれかを答える。

収束する場合→収束先を半角数字で答える。

振動する場合→数列に現れる2数を、全角スペースで区切り小さい順に答える。
(例)数列が4,6,4,6···と振動する場合、かぎかっこ内のように答える。
「4　6」

問題文

$$
\lim_{n \to \infty} n \left\{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^{2025}-\int_{0}^{1} x^{2025}dx \right\}
$$を求めよ。

解答形式

答えは互いに素な自然数$p,q$を用いて$\displaystyle\frac{p}{q}$とあらわされるので$p+q$を半角で1行目に記入してください。

問題文

鋭角三角形$ABC$について、$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする。$△ABC$の外接円と直線$EF$の交点の内、劣弧$AB$側の交点を$G$、劣弧$AC$側の交点を$H$とする。直線$BG$と直線$DF$の交点を$I$としたとき、$A,I,H$は共線であった。このとき、以下が成立した。
$$
∠C=60°　BC=8
$$
このとき、$AC$の長さは自然数$a.b$を用いて$a+√b$と表せられるので、$a+b$の値を求めて下さい。

解答形式

半角で解答して下さい。

問題文

2次元座標平面上の有限な閉じた凸領域 $\mathcal{D}$ に対し, $\mathcal{D}$ の境界 $\beta=\partial\mathcal{D}$ が次を満たすとします.

(1) $\beta$ は滑らかな単純閉曲線です.
(2) $\beta$ 上の任意の点 $O$ に対して $O$ を中心とする半径が $1$ である円は $\beta$ との交点を正確に $2$ つ持ちます.
(3) $\beta$ 上の任意の点 $O$ に対し, $O$ で $\beta$ と接する直線は $\beta$ と $O$ 以外の交点を持ちません.

両端が $P, Q$ で, 中点が $M$ の長さ $1$ の棒を考えましょう. この棒の両端点が常に $\beta$ の上に置かれるように棒を曲線に沿って一周すると, つまり $\beta$ に沿って二点 $P, Q$ を連続的に一周すると $M$ の跡は単純閉曲線 $\gamma$ になります。
この時, 二つの曲線 $\beta,\gamma$ の間にある領域の広さが $\frac{\pi}{4}$ であることを証明しなさい.

解答形式

証明過程をできるだけ詳しく作成してください.

問題文

次の二つの条件を満たす $n$ 個の実数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ に対して $\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_ia_{i+1}\right)+a_na_1$ の最大値を求めなさい. ただし, $n\ge 3$ である.

$$\begin{matrix}a_1+a_2+\cdots+a_n=0, & a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=1\end{matrix}$$

解答形式

最初の行に $\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_ia_{i+1}\right)+a_na_1$ の最大値を入力してください.
2列目は空白にしておいてください.
3行目から証明過程をできるだけ詳しく作成してください.

問題文

実数全体で定義された実関数 $f$ は二度微分可能であり, $f^{\prime\prime}$ が連続である. そしてすべての実数 $x$ に対して $f^{\prime}(x) > 0, f^{\prime\prime}(x) < 0$ である.

このとき, 任意の正の実数 $t$ に対して次の式が成立することを証明しなさい.

$$\left|\int_0^t\cos{f(x)}dx\right| \le \frac{2}{f^\prime (t)}$$

解答形式

証明過程をできるだけ詳しく作成してください.

問題文

$37^{2024}$ の十の位と一の位の数をもとめてください.

解答形式

$37^{2024}$ の十の位と一の位の数を空白で区切って1行に入力してください.
例えば $37^{2024}$ の十の位が $0$ で一の位が $2$ の場合は 0 2 のように入力してください。