数学の問題一覧

問題文

$\angle C=90°$ である $\triangle ABC$ において, $C$ から $AB$ へおろした垂線の足を $P$ , $\angle C$ の二等分線と $AB$ との交点を $Q$ とします. $AQ=3,BQ=4$ のとき, $PQ$ の長さを求めてください.
（下図には $CP⊥AB$ であることが書かれていませんので, 注意してください. ）

解答形式

互いに素な正整数 $a,b$ によって $PQ=\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ の値を半角数字で解答してください.

問題文

半円3つが図のように配置されています。∠Xと∠Yの差を求めてください。
※同じ色で示した線分は長さが等しいです。

解答形式

0~360までの整数を半角数字で解答してください。
「度」や「°」などの単位を付けないでください。
例: 30° → 30

問題文

図のように長方形や直角三角形の内接円が配置されています。青で示した角の角度を求めてください。

解答形式

度数法で求め、半角数字で0以上360未満の整数を解答してください。
※度や°などの単位は付けないでください。

問題文

半円が内接する長方形に、図のように線を引きました。赤と青で示した線分の長さがそれぞれ3,4で、ピンクで示した線分の長さが等しいとき、緑の線分の長さを求めてください。

解答形式

$x=\sqrt{\fbox{アイ}}$です。文字列 アイ を解答してください。

問題文

以下の条件１を満たす正整数列 $a_n\ (n \ge 1)$ を考える.

条件１：

$\cdot \ n\ge 1$ なる正整数 $n$ において, $a_{n+1}$ は $a_{n}$ 以下の正整数であって $a_{n}$ と互いに素なものの個数に等しい.

適切に $a_1$ を決めると以下の条件２が成立しました. このときの $a_1$ としてありうる値の個数を解答してください.

条件２：

$\cdot$ $a_1$ の任意の素因数は十進数表記で $1$ 桁である.

$\cdot$ 任意の $i,j \ge N$ なる整数 $(i,j)$ の組について, $a_i=a_j$ となる最小の $N$ が $N=13$ である.

解答形式

解答を非負整数で入力してください．

問題文

正方形・正三角形・円が図のように配置されているとき、色を付けた角の角度の差（の絶対値）を解答してください。

解答形式

半角数字で0以上180未満の整数を解答してください。
「度」や「°」などの単位を付けずに解答してください。

問題文

正方形と正三角形を組み合わせた図のような図形について, 青で示した角の大きさを求めてください.

解答形式

0以上180未満の整数を半角数字で解答してください。
ただし度数法で、単位を付けずに解答してください。

問題文

図の条件の下で、赤で示した線分の長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

正方形・正三角形・円を組み合わせた以下の図について、$x$で示した角の大きさを求めてください。

解答形式

半角数字で、0以上180未満の整数を解答してください。
「度」や「°」などの単位を付けないよう注意してください。

問題文

図において、青で示した部分の面積と、赤で示した部分の面積の差が $63$ のとき、四角形 $ABCD$ の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

実数 $x,y$ が $\bigg\{\begin{aligned}
20x+12y=20 \\
23x+31y=24
\end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき，$2023x+1231y$ の値を求めて下さい．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

漸化式
$$
a_{n+3}=3a_{n+2}-4a_{n+1}+2a_n\quad (n=1,2,\cdots)
$$および
$$
a_1=1, \; a_2=0, \; a_3=0
$$を満たす数列 $\{a_n\}$ を考える。次の空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{フ}$ に当てはまる数字を答えなさい。

• 漸化式
  $$
  a_{n+3}=3a_{n+2}-4a_{n+1}+2a_n\quad (n=1,2,\cdots)
  $$を満たす数列全体の集合を $V$ とする。数列 $a_n, b_n\in V$ および $c\in\mathbb{C}$ に対して，第 $n$ 項が $ca_n, a_n+b_n$ であるような数列をそれぞれ数列 $a_n$ の $c$ 倍，数列 $a_n, b_n$ の和と定義することにすると，この和とスカラー倍により $V$ は $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間になる（確かめよ）。ここで，$V$ の元 $a_n$ は，$a_1, a_2, a_3$ を定めることで完全に決定できる。すなわち，写像 $\varphi: V \to \mathbb{C}^3$ を
  $$
  \varphi(a_n)=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}
  $$で定めると，$\varphi$ は全単射である。しかも，$\varphi$ は線型写像だから，$\varphi$ はベクトル空間の同型になる。$V$ は $\fbox{ア}$ 次元である。また，$e_n^{(1)}, e_n^{(2)}, e_n^{(3)}\in V$ を
  $$
  \varphi(e_n^{(1)})=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\; \varphi(e_n^{(2)})=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\; \varphi(e_n^{(3)})=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}
  $$となるように定めると，$e_n^{(1)}, e_n^{(2)}, e_n^{(3)}$ は $V$ の基底になる。

• $V$ 上の線型変換 $L: V\to V$ を次のように定義する。$a_n\in V$ に対して，$L(a_n)$ を第 $1, 2, 3$ 項がそれぞれ $a_2, a_3, a_4$ である数列とする（$L$ が線型写像になることを確かめよ）。このとき，$L(a_n)$ の第 $n$ 項は $a_{n+\fbox{イ}}$ である。基底 $e_n^{(1)}, e_n^{(2)}, e_n^{(3)}$ のもとでの $L$ の表現行列 $L_A$ は
  $$
  L_A=\begin{pmatrix} \fbox{ウ} & \fbox{エ} & * \\ \fbox{オ} & \fbox{カ} & \fbox{キ} \\ \fbox{ク} & \fbox{ケコ} & \fbox{サ}\end{pmatrix}
  $$である。

• $L_A$ の固有値を $\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \lambda^{(3)}$ とする（$\lambda^{(1)}\in\mathbb{R}, {\rm Im}(\lambda^{(2)})>0, {\rm Im}(\lambda^{(3)})<0$）。このとき
  \begin{align}
  \lambda^{(1)}&=\fbox{シ}\\
  {\rm Re}(\lambda^{(2)})={\rm Re}(\lambda^{(3)})&=\fbox{ス}\\
  {\rm Im}(\lambda^{(2)})=-{\rm Im}(\lambda^{(3)})&=\fbox{セ}
  \end{align}である。

• 固有値 $\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \lambda^{(3)}$ に対応する固有ベクトルをそれぞれ $\alpha^{(1)}, \alpha^{(2)}, \alpha^{(3)}$ とする。固有ベクトルには定数倍の不定性があるが，$\alpha^{(j)}\;(j=1,2,3)$ の第 $1$ 成分が固有値 $\lambda^{(j)}$ に一致するようにとると
  \begin{align}
  \alpha^{(1)}=\begin{pmatrix} \lambda^{(1)} \\ \fbox{ソ} \\ * \end{pmatrix},\; \alpha^{(2)}=\begin{pmatrix} \lambda^{(2)} \\ \fbox{タ}\;i \\ * \end{pmatrix},\; \alpha^{(3)}=\begin{pmatrix} \lambda^{(3)} \\ * \\ \fbox{チツ}-\fbox{テ}\;i \end{pmatrix}
  \end{align}である。

• $\varphi(\beta_n^{(1)})=\alpha^{(1)}, \;\varphi(\beta_n^{(2)})=\alpha^{(2)}, \;\varphi(\beta_n^{(3)})=\alpha^{(3)}$ となる数列 $\beta_n^{(1)}, \beta_n^{(2)}, \beta_n^{(3)}\in V$ をとる。$\beta_n^{(1)}, \beta_n^{(2)}, \beta_n^{(3)}\in V$ は $V$ の基底をなすから，$V$ の任意の元 $a_n$ はこれらの線型結合で表すことができる。例えば，$a_n\in V$ が
  $$
  a_1=1, \; a_2=0, \; a_3=0
  $$を満たすとき
  $$
  a_n=\fbox{ト}\;\beta_n^{(1)}-\frac{\beta_n^{(2)}-\beta_n^{(3)}}{\fbox{ナ}\; i}
  $$が成り立つ。これを変形すると
  $$
  a_n=\fbox{ニ}-\left(\sqrt{\fbox{ヌ}}\;\right)^n\sin\left(\frac{n\pi}{\fbox{ネ}}\right)
  $$となる。また，$a_1,\cdots, a_{100}$ のうち $a_n$ が最大となるのは $n=\fbox{ノハ}, \fbox{ヒフ}$ のときである。ただし $\fbox{ノハ} < \fbox{ヒフ}$ とする。

※この問題では，数列とは写像 $a: \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ のことをいう。$n\in\mathbb{N}$ に対して，$a(n)$ のことを単に $a_n$ と表記する。また，記号の濫用であるが $a$ を $\{a_n\}, a_n$とも書く。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{フ}$ には，半角数字 0 - 9 または記号 - のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{フ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。