fusshi

問題文

行列$A$を次で定義する。
$$A= \begin{pmatrix} 6& -3 & -7 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 5& -3 & -6 & 0 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 & 1 & 2 & 1\\ 0& 0 & 0 & -1 & 4 & 1\\ 0& 0 & 0 & 2 & -4 & 0\\ \end{pmatrix}$$
このとき次の実線形空間の次元を求めよ。
$$V=\{X\in M_{6}(\mathbb{R})\mid AX=XA\}$$
ただし、$M_{6}(\mathbb{R})$とは6行6列の実正方行列全体の集合である。

解答形式

半角数字で答えよ。

問題文

$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{1}\frac{(1+xt^2)-e^{xt^2}}{t\cdot e^{xt^2}}dt$とおく。
1 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^p}$が有限値となる$p$とその極限値$\alpha$を求めよ。
2 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{(\log{x})^q}$が有限値となる$q$とその極限値$\beta$を求めよ。

解答形式

$p=\fbox{ア}$
$\alpha=\displaystyle-\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}$
$q=\fbox{エ}$
$\beta=\displaystyle-\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}$
である。$\fbox{ア}$から順に1行ごとに答えよ。

問題文

1
下の行列$A$に対して$f\colon \mathbb{R}^{6} \to \mathbb{R}$を$f(x)={}^{t}xAx$で定義する。${}^{t}x$は$x$の転置である。
$f$が原点で最大最小をとらない$a$の範囲を求めよ。

$$A=\begin{pmatrix} a& -3 & -a & 2 & 9 & a\\ -3 & -3 & 1 & 0 & 5 & 1\\ -a& 1 & 4 & 5 & 4 & 7\\ 2& 0 & 5 & 1 & a & 1\\ 9& 5& 4 & a & -4 & -4\\ a& 1 & 7 & 1 & -4 & a\\ \end{pmatrix}$$

2
$$X=\begin{pmatrix} 1& 6 & 0 & -2 & 1 & 0\\ 2 & b& 2 & 1 & 4& 3\\ -1& 9 & -3 & 7 & 1 & -1\\ 2& -1 & 0 & 1 & 6 & 0\\ -1& -4 & -3 & 2 & b & 2\\ -7& -1 & 1 & -1 & 9 & -3 \end{pmatrix}$$
が実対角化可能な$b$の範囲を求めよ。

ヒント1は1のヒント、ヒント2-4が2のヒントです。

解答形式

$\displaystyle\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}<a<\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$、$\displaystyle\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}<b<\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}$
である。$\fbox{ア}$から順に1行ごとに答えよ。
ただし、任意の$a$で成立しないときは
$$\fbox{ア}=00,\fbox{イ}=00,\fbox{ウ}=00,\fbox{エ}=00$$
とし、任意の$a$で成立するときは
$$\fbox{ア}=000,\fbox{イ}=000,\fbox{ウ}=000,\fbox{エ}=000$$
のように答えてください。$b$も同様です。

問題文

行列$A$を次で定義する。
$$A= \begin{pmatrix} 6& -3 & -7 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 5& -3 & -6 & 0 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 & 1 & 2 & 1\\ 0& 0 & 0 & -1 & 4 & 1\\ 0& 0 & 0 & 2 & -4 & 0\\ \end{pmatrix}$$
このとき次の実線形空間の次元を求めよ。
$$V=\{X\in M_{6}(\mathbb{R})\mid AX=XA\}$$
ただし、$M_{6}(\mathbb{R})$とは6行6列の実正方行列全体の集合である。

解答形式

半角数字で答えよ。

問題文

1
下の行列$A$に対して$f\colon \mathbb{R}^{6} \to \mathbb{R}$を$f(x)={}^{t}xAx$で定義する。${}^{t}x$は$x$の転置である。
$f$が原点で最大最小をとらない$a$の範囲を求めよ。

$$A=\begin{pmatrix} a& -3 & -a & 2 & 9 & a\\ -3 & -3 & 1 & 0 & 5 & 1\\ -a& 1 & 4 & 5 & 4 & 7\\ 2& 0 & 5 & 1 & a & 1\\ 9& 5& 4 & a & -4 & -4\\ a& 1 & 7 & 1 & -4 & a\\ \end{pmatrix}$$

2
$$X=\begin{pmatrix} 1& 6 & 0 & -2 & 1 & 0\\ 2 & b& 2 & 1 & 4& 3\\ -1& 9 & -3 & 7 & 1 & -1\\ 2& -1 & 0 & 1 & 6 & 0\\ -1& -4 & -3 & 2 & b & 2\\ -7& -1 & 1 & -1 & 9 & -3 \end{pmatrix}$$
が実対角化可能な$b$の範囲を求めよ。

ヒント1は1のヒント、ヒント2-4が2のヒントです。

解答形式

$\displaystyle\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}<a<\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$、$\displaystyle\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}<b<\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}$
である。$\fbox{ア}$から順に1行ごとに答えよ。
ただし、任意の$a$で成立しないときは
$$\fbox{ア}=00,\fbox{イ}=00,\fbox{ウ}=00,\fbox{エ}=00$$
とし、任意の$a$で成立するときは
$$\fbox{ア}=000,\fbox{イ}=000,\fbox{ウ}=000,\fbox{エ}=000$$
のように答えてください。$b$も同様です。

問題文

$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{1}\frac{(1+xt^2)-e^{xt^2}}{t\cdot e^{xt^2}}dt$とおく。
1 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^p}$が有限値となる$p$とその極限値$\alpha$を求めよ。
2 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{(\log{x})^q}$が有限値となる$q$とその極限値$\beta$を求めよ。

解答形式

$p=\fbox{ア}$
$\alpha=\displaystyle-\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}$
$q=\fbox{エ}$
$\beta=\displaystyle-\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}$
である。$\fbox{ア}$から順に1行ごとに答えよ。