問題文
$\angle B=90^{\circ}$なる直角三角形$ABC$において，$AC$の中点を$M$とすると，$BC$上(端点を除く)に$AB=MP=MQ$なる異なる$2$点$P$，$Q$をとることができ，$B$，$P$，$Q$，$C$はこの順にあった．また，$B$を直線$MQ$について対称移動した点を$X$とすると，$AX=11$，$PX=18$を満たした．このとき，$BC$の長さの$2$乗を求めよ．
解答形式
求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せるので，$a+b$を半角数字で解答してください．
問題文
外接円の直径が$5$，$AB:AD=5:7$の内接四角形$ABCD$において，$\triangle ABC$の内心，$B$傍心をそれぞれ$I_1$，$I_B$とし，$\triangle ADC$の内心，$D$傍心をそれぞれ$I_2$，$I_D$とすると，$I_1$，$I_2$，$I_B$，$I_D$は同一円周上にあり，$I_1I_B\cdot I_2I_D=40$を満たした．$AC$の中点を$M$としたとき，$BM+DM$を求めよ．
解答形式
求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので，$a+b$を半角数字で解答してください．
問題文
$\:2024≧a>b>c≧1\:$なる正整数の組$\:(a,b,c)\:$であって､$x^a+x^b+x^c+1\:$が$\:(x+1)\:$を因数に持つようなものは何通りあるか解答してください。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
$\triangle ABC$において$AC$,$AB$の中点をそれぞれ$M$,$N$とし, 線分$BM$,$CN$上(端点を除く)にそれぞれ点$D$,$E$をとります. 直線$AD$,$AE$と線分$BC$の交点をそれぞれ$P$,$Q$としたとき,$$\frac{AP･PD}{PB}=MN-PC$$$$\frac{AQ･QE}{QC}=MN-QB$$が成立しました. $∠ADB=101°$,$∠BEN=62°$,$∠DCB=41°$のとき, $∠AED$の角度を度数法で解答してください.
解答形式
半角数字で入力してください.
問題文
縦$2$マス、横$7$マスの$14$マスそれぞれに$1$〜$7$の整数のいずれかが$1$つ書かれています。以下の条件を満たす数字の書き方は何通りあるか答えてください。ただし、$N_{a,b}$で上から$a$マス目、左から$b$マス目のマスに書かれた数を表します。
・$1≦i≦7$の任意の整数$i$において、
$N_{1,i}≡N_{2,i} (mod\:3)$ かつ
$N_{1,i}≢N_{2,i} (mod\:2)$
・$1≦j≦2$、$1≦k≦6$の任意の整数$j,k$において、
$N_{j,k}≢N_{j,k+1} (mod\:3)$ かつ
$N_{j,k}≢N_{j,k+1} (mod\:2)$
解答形式
半角数字で入力してください。