面積 $1$ の平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ に対し,辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ の中点をそれぞれ $\mathrm K,\mathrm L,\mathrm M,\mathrm N$ とする.$8$ 直線 $\mathrm{AL},\mathrm{AM},\mathrm{BM},\mathrm{BN},\mathrm{CN},\mathrm{CK},\mathrm{DK},\mathrm{DL}$ によって囲まれてできる $8$ 角形の面積を求めよ.
ただし,整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ.
AクラスとBクラスの生徒の合計は24人である.鉛筆とボールペンについて在庫が何本かあり,それらを生徒に配りたい.Aクラスの生徒に鉛筆を7本ずつ配ろうとすると最後の1人で足りなくなり,Bクラスの生徒にボールペンを6本ずつ配ろうとすると最後の1人で足りなくなる.そこで,逆にAクラスの生徒にボールペンを,Bクラスの生徒に鉛筆を配ると,クラス毎に同じ本数だけ,在庫をちょうど配りきることができた.(1人あたりに配った本数は,AクラスとBクラスでは同じとは限らない.)
Aクラスの生徒の人数としてありえる数を全て求めよ.
答えは,小さい順に空白を入れずカンマで区切って記入せよ.例えば,1と2と3があり得るなら
1,2,3
と答えよ.
数直線上の点 $\mathrm P$ は初め原点にある.サイコロを振り $1, 2$ が出たら正の向きに $2$ 進み,$3, 4, 5, 6$ が出たら負の向きに
$1$ 進むという操作を繰り返す.
$6$ 回の操作をおこなったとき,点 $\mathrm P$ が常に $x\geqq0$ の範囲にある確率を求めよ.
答えは互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac ab$ と表されるので,$1$ 行目に $a$ を,$2$ 行目に $b$ を答えよ.
$a,b,c\ (a\neq0)$ を実数とする.放物線 $y=ax^2+bx+c$ が,$3$ 直線
$\ y=x-2,\ y=-3x+2,\ y=7x-3$
の全てと接するとき,$a,b,c$ の値を求めよ.
答えは,$a,b,c$ の値をそれぞれ $1,2,3$ 行目に記入せよ.ただし,整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
のように記入して答えよ.
【解答例】
1
-2
-1/3
$a,b,c\ (a\neq0)$ を実数とする.放物線 $y=ax^2+bx+c$ が,$3$ 直線
$\ y=x-2,\ y=-3x+2,\ y=7x-3$
の全てと接するとき,$a,b,c$ の値を求めよ.
答えは,$a,b,c$ の値をそれぞれ $1,2,3$ 行目に記入せよ.ただし,整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
のように記入して答えよ.
【解答例】
1
-2
-1/3
方程式 $x^2+xy+y^3=7$ の表す図形を $y$ 方向に $\fbox{ (1) }$ 平行移動してから $\fbox{ (2) }$ に関して対称移動し,$x$ 方向に $\fbox{ (3) }$ 平行移動し,$\fbox{ (4) }$ に関して対称移動すると,方程式 $x^3-3x^2+xy-y^2+5y=0$ の表す図形となる.
以上の空欄 $(1)\sim(4)$ を適切に補充せよ.ただし,$(1),(3)$ には数値を答え,$(2),(4)$ には以下の語群から言葉を選び答えよ.
【語群】
$\mathrm A.\,x$ 軸
$\mathrm B.\,y$ 軸
$\mathrm C.$ 直線 $y=x$
答えは,空欄 $(1),(2),(3),(4)$ に当てはまる数または記号をそれぞれ $1,2,3,4$ 行目に記して答えよ.
ここで,整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
と記すこと.
【解答例】
3
A
-5/13
B
面積 $1$ の平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ に対し,辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ の中点をそれぞれ $\mathrm K,\mathrm L,\mathrm M,\mathrm N$ とする.$8$ 直線 $\mathrm{AL},\mathrm{AM},\mathrm{BM},\mathrm{BN},\mathrm{CN},\mathrm{CK},\mathrm{DK},\mathrm{DL}$ によって囲まれてできる $8$ 角形の面積を求めよ.
ただし,整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ.
正 $6$ 角形 $\mathrm{ABCDEF}$ の中心を $\mathrm O$ とし,正 $6$ 角形の $6$ 個の辺と,$\mathrm O$ と各頂点を結ぶ $6$ 個の線分の,計 $12$ 個の線分を考える.このとき,これらの線分を辺とする正三角形が $6$ 個できている.これらの線分のうちの幾つかを取り除いて,正三角形が $1$ つもできない状態を作りたい.そのような取り除き方は何通りか求めよ.
AクラスとBクラスの生徒の合計は24人である.鉛筆とボールペンについて在庫が何本かあり,それらを生徒に配りたい.Aクラスの生徒に鉛筆を7本ずつ配ろうとすると最後の1人で足りなくなり,Bクラスの生徒にボールペンを6本ずつ配ろうとすると最後の1人で足りなくなる.そこで,逆にAクラスの生徒にボールペンを,Bクラスの生徒に鉛筆を配ると,クラス毎に同じ本数だけ,在庫をちょうど配りきることができた.(1人あたりに配った本数は,AクラスとBクラスでは同じとは限らない.)
Aクラスの生徒の人数としてありえる数を全て求めよ.
答えは,小さい順に空白を入れずカンマで区切って記入せよ.例えば,1と2と3があり得るなら
1,2,3
と答えよ.