面積 $1$ の平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ に対し,辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ の中点をそれぞれ $\mathrm K,\mathrm L,\mathrm M,\mathrm N$ とする.$8$ 直線 $\mathrm{AL},\mathrm{AM},\mathrm{BM},\mathrm{BN},\mathrm{CN},\mathrm{CK},\mathrm{DK},\mathrm{DL}$ によって囲まれてできる $8$ 角形の面積を求めよ.
ただし,整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ.
AクラスとBクラスの生徒の合計は24人である.鉛筆とボールペンについて在庫が何本かあり,それらを生徒に配りたい.Aクラスの生徒に鉛筆を7本ずつ配ろうとすると最後の1人で足りなくなり,Bクラスの生徒にボールペンを6本ずつ配ろうとすると最後の1人で足りなくなる.そこで,逆にAクラスの生徒にボールペンを,Bクラスの生徒に鉛筆を配ると,クラス毎に同じ本数だけ,在庫をちょうど配りきることができた.(1人あたりに配った本数は,AクラスとBクラスでは同じとは限らない.)
Aクラスの生徒の人数としてありえる数を全て求めよ.
答えは,小さい順に空白を入れずカンマで区切って記入せよ.例えば,1と2と3があり得るなら
1,2,3
と答えよ.
数直線上の点 $\mathrm P$ は初め原点にある.サイコロを振り $1, 2$ が出たら正の向きに $2$ 進み,$3, 4, 5, 6$ が出たら負の向きに
$1$ 進むという操作を繰り返す.
$6$ 回の操作をおこなったとき,点 $\mathrm P$ が常に $x\geqq0$ の範囲にある確率を求めよ.
答えは互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac ab$ と表されるので,$1$ 行目に $a$ を,$2$ 行目に $b$ を答えよ.
$a,b,c\ (a\neq0)$ を実数とする.放物線 $y=ax^2+bx+c$ が,$3$ 直線
$\ y=x-2,\ y=-3x+2,\ y=7x-3$
の全てと接するとき,$a,b,c$ の値を求めよ.
答えは,$a,b,c$ の値をそれぞれ $1,2,3$ 行目に記入せよ.ただし,整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
のように記入して答えよ.
【解答例】
1
-2
-1/3
四面体 $\mathrm{ABCD}$ は
$\ \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=6,\ \mathrm{AD}=\mathrm{BD}=4,\ \mathrm{CD}=5$
を満たす.このとき,四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積 $V$ と,外接球の半径 $R$ を求めよ.
解答においては,$1$ 行目に $V^2$ を,$2$ 行目に $R^2$ を記して答えよ.
ただし,整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入せよ.
円に外接する凸四角形 $\mathrm{ABCD}$ について,辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ と円との接点をそれぞれ $\mathrm E,\mathrm F,\mathrm G,\mathrm H$ とし,$\mathrm{AE},\mathrm{BF},\mathrm{CG},\mathrm{DH}$ の長さをそれぞれ $a,b,c,d$ とする.このとき,四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を $a,b,c,d$ により表せ.
ただし,解答に際しては $a=3,\ b=4,\ c=5,\ d=7$ の場合の $S^2$ の値を答えよ.
整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ.
互いに外接する3つの円 $J,K,L$ があり,$K$ と $L$ の接点を $\mathrm A$,$L$ と $K$ の接点を $\mathrm B$,$J$ と $K$ の接点を $\mathrm C$ とする.$\triangle\mathrm{ABC}$ について,頂点 $\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C$ の対辺の長さをそれぞれ $a,b,c$ とするとき,円 $J,K,L$ の半径を求めよ.
ただし,解答に際しては $a=17,\ b=13,\ c=14$ の場合の $J$ の半径の値を答えよ.
整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ.
$a,b,c\ (a\neq0)$ を実数とする.放物線 $y=ax^2+bx+c$ が,$3$ 直線
$\ y=x-2,\ y=-3x+2,\ y=7x-3$
の全てと接するとき,$a,b,c$ の値を求めよ.
答えは,$a,b,c$ の値をそれぞれ $1,2,3$ 行目に記入せよ.ただし,整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
のように記入して答えよ.
【解答例】
1
-2
-1/3
方程式 $x^2+xy+y^3=7$ の表す図形を $y$ 方向に $\fbox{ (1) }$ 平行移動してから $\fbox{ (2) }$ に関して対称移動し,$x$ 方向に $\fbox{ (3) }$ 平行移動し,$\fbox{ (4) }$ に関して対称移動すると,方程式 $x^3-3x^2+xy-y^2+5y=0$ の表す図形となる.
以上の空欄 $(1)\sim(4)$ を適切に補充せよ.ただし,$(1),(3)$ には数値を答え,$(2),(4)$ には以下の語群から言葉を選び答えよ.
【語群】
$\mathrm A.\,x$ 軸
$\mathrm B.\,y$ 軸
$\mathrm C.$ 直線 $y=x$
答えは,空欄 $(1),(2),(3),(4)$ に当てはまる数または記号をそれぞれ $1,2,3,4$ 行目に記して答えよ.
ここで,整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
と記すこと.
【解答例】
3
A
-5/13
B
面積 $1$ の平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ に対し,辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ の中点をそれぞれ $\mathrm K,\mathrm L,\mathrm M,\mathrm N$ とする.$8$ 直線 $\mathrm{AL},\mathrm{AM},\mathrm{BM},\mathrm{BN},\mathrm{CN},\mathrm{CK},\mathrm{DK},\mathrm{DL}$ によって囲まれてできる $8$ 角形の面積を求めよ.
ただし,整数でない有理数は既約分数(分母は自然数,分子は整数で,互いに素)で表し,$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ.