Ichijo

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120°の三角形

Ichijo 自動ジャッジ 難易度:
4月前

4

問題文

△ABCについて、辺BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b,cとおく。∠C=120°であり、a,b,cが全て素数であるような組(a,b,c)を全て求めよ。

解答形式

(1,2,3)などのように、半角かっこの中に数字と半角コンマを入れ解答する。かっこ、半角コンマの前後にスペースを含まないこと。複数個ある場合は辞書順に並べて、(まずaの値が小さい順に並べ、aの値が同じな時はbの値が小さい順に並べ、aとbの値が同じな時はcの値が小さい順に並べること。)1行に1つ解答し、改行すること。

4月前

2

問題文

$AB=7$,$AB>AC$を満たす$\triangle ABC$について、線分$AB$上に$AC=BD$となるように点$D$をとる。直線$BC$を対称の軸として点$D$を対称移動した点を点Eとし、線分$BE,DE$を結ぶ。ここで、線分$DE$と線分$BC$は交点を持った。この点を点$M$とする。さらに、$\angle BAC$の二等分線と線分$BC$の交点を点$F$としたとき、$\angle AFB=135°$であった。$CM+DM=3$のとき、凹五角形$ABEMC$の面積を求めよ。

解答形式

単位を付けずに半角数字で解答してください。


問題文

以下の問いに答えよ.(自然数$n$について,$n!$ は,$1$ から $n$ までの自然数をすべてかけた値を表す.ただし$0!=1$とする.)

  1. $r^m=\frac{r^m-r^{m+1}}{1-r}$ という式変形を用いて,$s<t$ を満たす自然数組 $(s,t)$ と, $r<1$ を満たす実数 $r$ について,$$r^s+r^{s+1}+\cdots+r^t=\frac{r^s-r^{t+1}}{1-r}$$ となることを示せ.

  2. 自然数組 $(a,i)$ について $a^i < i!$ が成立するなら,$i$ 以上の任意の自然数 $j$ で $$a^j < j!$$ となることを示せ.

  3. 自然数組 $(a,i,k,n)$ について,$f(k)=k!-a^k$ ,$g(k)=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{k!}$ とする.
    $i<n$ ,$f(i)> 0$ を満たすとき,$$g(n)< g(i-1)+\frac{1}{a^i-a^{i-1}}-\frac{1}{a-1}\left( \frac{1}{a} \right)^n$$となることを示せ.

  4. $n>4$ を満たす自然数 $n$ について,$$g(n)<\frac{67}{24}$$ となることを示せ.

解答形式

私に伝わる程度でよいので、軽めに記述してください。

ヒントの内容

  1. 「3.」のヒント
  2. 「4.」のヒント

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問題文

以下の問いに答えよ.(自然数$n$について,$n!$ は,$1$ から $n$ までの自然数をすべてかけた値を表す.ただし$0!=1$とする.)

  1. $r^m=\frac{r^m-r^{m+1}}{1-r}$ という式変形を用いて,$s<t$ を満たす自然数組 $(s,t)$ と, $r<1$ を満たす実数 $r$ について,$$r^s+r^{s+1}+\cdots+r^t=\frac{r^s-r^{t+1}}{1-r}$$ となることを示せ.

  2. 自然数組 $(a,i)$ について $a^i < i!$ が成立するなら,$i$ 以上の任意の自然数 $j$ で $$a^j < j!$$ となることを示せ.

  3. 自然数組 $(a,i,k,n)$ について,$f(k)=k!-a^k$ ,$g(k)=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{k!}$ とする.
    $i<n$ ,$f(i)> 0$ を満たすとき,$$g(n)< g(i-1)+\frac{1}{a^i-a^{i-1}}-\frac{1}{a-1}\left( \frac{1}{a} \right)^n$$となることを示せ.

  4. $n>4$ を満たす自然数 $n$ について,$$g(n)<\frac{67}{24}$$ となることを示せ.

解答形式

私に伝わる程度でよいので、軽めに記述してください。

ヒントの内容

  1. 「3.」のヒント
  2. 「4.」のヒント
4月前

2

問題文

$AB=7$,$AB>AC$を満たす$\triangle ABC$について、線分$AB$上に$AC=BD$となるように点$D$をとる。直線$BC$を対称の軸として点$D$を対称移動した点を点Eとし、線分$BE,DE$を結ぶ。ここで、線分$DE$と線分$BC$は交点を持った。この点を点$M$とする。さらに、$\angle BAC$の二等分線と線分$BC$の交点を点$F$としたとき、$\angle AFB=135°$であった。$CM+DM=3$のとき、凹五角形$ABEMC$の面積を求めよ。

解答形式

単位を付けずに半角数字で解答してください。

120°の三角形

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4月前

4

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△ABCについて、辺BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b,cとおく。∠C=120°であり、a,b,cが全て素数であるような組(a,b,c)を全て求めよ。

解答形式

(1,2,3)などのように、半角かっこの中に数字と半角コンマを入れ解答する。かっこ、半角コンマの前後にスペースを含まないこと。複数個ある場合は辞書順に並べて、(まずaの値が小さい順に並べ、aの値が同じな時はbの値が小さい順に並べ、aとbの値が同じな時はcの値が小さい順に並べること。)1行に1つ解答し、改行すること。

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