noishi

【問題】

$a>1$とする。座標平面上に円$C:(x-a)^2+y^2=1$がある。
円$C$上の第1象限にある点$P(p,q)$における接線を$l_1$とし、$l_1$が$y$軸と交わる点を$A$とする。
点$A$から円$C$に引いたもう1本の接線を$l_2$とし、$l_2$が$x$軸と交わる点を$B$とする。
同様に、点$B$から引いたもう1本の接線を$l_3$とし、$l_3$が$y$軸と交わる点を$C$、点$C$から引いたもう1本の接線を$l_4$とし、$l_4$が$x$軸と交わる点を$D$とする。

4本の接線$l_1,l_2,l_3,l_4$で囲まれる四角形$ABCD$の面積$S$を、$a,p,q$を用いて表せ。

解答形式

a=2,p=7/5,4/5のときのSの値を答えてください

問題

$a$を$|a|>1$を満たす実数とする。$xy$平面上に、中心$A(a,0)$、半径$1$の円$C:(x-a)^2+y^2=1$がある。
円$C$上に、$x$軸上にない任意の点$P_1$をとる。自然数$n=1,2,3,\dots$に対して、円$C$上の点列${P_n}$を以下の操作によって順に定める。

• 操作1：点$P_{2n-1}$における円$C$の接線を引き、この接線と$y$軸との交点を$Q_n$とする。
• 操作2：点$Q_n$から円$C$に2本の接線を引き、その接点のうち$P_{2n-1}$とは異なる方の点を$P_{2n}$とする。
• 操作3：点$P_{2n}$と円$C$の中心$A$に関して対称な点を$P_{2n+1}$とする。

操作を限りなく繰り返すとき、点列$P_1,P_3,P_5,\dots,P_{2n-1},\dots$は円$C$上のある定点に近づく。その近づいていく定点の座標を求めよ。

解答形式

a=2の場合の答えを入力してください
·解答例　近づく定点が(x,y)のとき
x
y

問題

方程式 $p^2+q^2+r^2=2027$ を満たす素数の組 $(p,q,r)$ をすべて求めよ。
ただし、$p \le q \le r$ とする。

解答形式

組の個数ごとに改行して答えてください。なお、組が複数ある場合はpが小さい順に並べてください。
解答例(p,q,r)=(3,5,7),(2,7,11)のとき
2,7,11
3,5,7

$N$ を自然数とし、以下の変数を定義します。
* $S$：$N$ の各位の和
* $P$：$N$ の各位の積
* $k$：$N$ の桁数

このとき、次の条件式を満たす自然数 $N$ をすべて求めてください
$$N = S^k + P \dots (*)$$
なお、必要であれば常用対数の値を用いてもよいです。

(例) $N = 1234$ のとき
* $S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$
* $P = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$
* $10^3 \le 1234 < 10^4$ より $k = 4$
このとき、$S^k + P = 10^4 + 24 = 10024$ となります。
$N \neq S^k + P$ （$1234 \neq 10024$）であるため、この $N$ は条件を満たさないことがわかります。

解答形式

Nを小さい順に並べて解答してください

解答例:N=12,34のとき(実際の解とは異なりますが…)
12
34

問題

実数 $x, y$ が以下の連立方程式を満たすとき、$x, y$ の値を求めよ。

$$
\begin{cases}
\log_2 x = \log_4 (1 - y^2) \\
\log_2 x + \log_2 (x^2 - 3y^2) = -\frac{1}{2}
\end{cases}
$$

解答形式

自動採点の都合上、以下の指示に従って解答を入力してください。

連立方程式の解のうち、$y > 0$ を満たすものを $(x, y) = (\alpha, \beta)$ とおく。
このときの積 $\alpha \beta$ の値を求め、既約分数で半角入力せよ。
（例：答えが $\frac{2}{3}$ の場合は 2/3 と入力）

$x, y, z$ を正の実数とする。以下の連立方程式を満たすとき、$xy + yz + zx$ の値を求めよ。
$x^2 + xy + y^2 = 25$
$y^2 + yz + z^2 = 36$
$z^2 + zx + x^2 = 49$

解答形式

√を含む場合は根号の中身がなるべく小さくなるようにして√部分と係数部分を分けて解答してください。
·解答例　15√3のとき
15
3

素数 $p, q$ に対して、$4p^3 + 27q^2$ が平方数となるような組 $(p, q)$ をすべて求めよ。

答える際には(p,q)の各組の積を足した数を入力してください。
·解答例(p,q)=(2,3),(5,7)のとき
2×3+5×7=41から41を入力してください。
もし存在しないのであれば0を入力してください

【問題】
自然数 $n$ に対して、$f(n) = \lfloor \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \rfloor$、$g(n) = \lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor$ と定義する。
ただし、$\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）を表す。

このとき、$f(1729) + g(1729)$ の値を求めよ。

※自動判定のため、答えの数値のみを半角で入力してください。（入力例：42）

【問題】
2つの自然数 $n, m \ (n < m)$ に対し、$n$ から $m$ までの連続する自然数の総和を $S$ とします。
また、$m$ の桁数を $k$ とするとき、以下の方程式 $(*)$ を考えます。

$$S = n \times 10^k + m$$

（例：$n = 13, m = 53$ のとき、$S = 13 + 14 + \dots + 53 = 1353$ であり、$13 \times 10^2 + 53 = 1353$ となるため、方程式を満たす。）

$n$ と $m$ がともに 同じ桁数 $k$ のゾロ目（すべての桁の数字が同じ自然数）であるとき、条件 $(*)$ を満たす組 $(n, m)$ をすべて求めてください。

※申し訳ないのですが(n,m)の正解が入力できなかったので(n,m)=(1,2),(3,4),(2,5)のときはn=1,2,3m=2,5,4と入力してください…。nが小さい順に組を並べていってください。もしnの値が等しかったときはその部分だけmの値が小さくなるよう並び替えてください…
解答例　(n,m)=(5,6),(77,88)(77,3)のとき
n=5,77,77
m=6,3,88

【問題】
数列 ${a_n}$ を $a_n=3 \cdot 2^{n-1}$ とします。
また、この数列の初項から第$n$項までの積を $P_n$ とします。
（$P_n = a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n$）

$\log_{10}2=0.30$、$\log_{10}3=0.48$ として、$P_n$ が初めて100桁以上の整数となるような自然数 $n$ を求めてください。

※自動判定のため、答えの数値のみを半角で入力してください。（入力例：42）

【問題】
自然数 $n$ に対して、$n$ を10進法で表したときの各位の数の和を $S(n)$ とする。（例えば、$S(2026) = 2 + 0 + 2 + 6 = 10$ である。）
4桁以下の自然数 $n \ (1 \leqq n \leqq 9999)$ について、以下の問いに答えよ。

(1) $S(2n) = 2S(n)$ を満たす $n$ の個数を求めよ。

(2) $S(2n) = S(n)$ を満たす $n$ の個数を求めよ。

(3) 以下の値をそれぞれ求めよ。
　(i) $\sum_{n=1}^{9999} S(n)$
　(ii) $\sum_{n=1}^{9999} S(2n)$

※自動判定のため、(1)、(2)、(3)(i)、(3)(ii) の解答 を、上から順に入力してください

【問題】

定数 $p \ (p \neq 1)$ を用いて、関数 $g(x) = x^3 - 3x^2$ のグラフ（曲線 $C$）上で次のような操作を繰り返す。

• 最初の点：曲線 $C$ 上に点 $Q_1(x_1, g(x_1))$ をとる。ただし、$x_1 = p$ とする。
• 次の点の決め方：自然数 $n$ について、点 $Q_n(x_n, g(x_n))$ における接線を $l_n$ とし、接線 $l_n$ が曲線 $C$ と再び交わる点を次の点 $Q_{n+1}(x_{n+1}, g(x_{n+1}))$ とする。

このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 接線 $l_n$ の傾きを $m_n$ とする。数列 ${m_n}$ の一般項を $p$ と $n$ を用いて表せ。
(2) 曲線 $C$ と接線 $l_n$ で囲まれた部分の面積を $S_n$ とする。数列 ${S_n}$ の一般項を $p$ と $n$ を用いて表せ。

※自動判定のため、解答には求めた式に $p=2, n=3$ を代入したときの $m_3$ を1行目に、 $S_3$ を２行目に入力してください。
例$m_3$=15,$S_3$=150のとき
15
150

【問題】

実数 $x, y, z$ が以下の連立方程式を満たすとする。

$$
x + y + z = 1
$$
$$
x^2 + y^2 + z^2 = 5
$$
$$
x^3 + y^3 + z^3 = 4
$$

(1) $x^4 + y^4 + z^4$ の値を求めよ。
(2) 自然数 $n$ に対して $S_n = x^n + y^n + z^n$ とおく。$S_{n+3}$ を $S_{n+2}, S_{n+1}, S_n$ を用いて表せ。
(3) $x^7 + y^7 + z^7$ の値を求めよ。
(4) $S_{2026}$ を $7$ で割った余りを求めよ。

※自動ジャッジのため、(2)の証明ができたら第2行には「導出完了」と入力してください。
·解答例　(1)が4,(2)が導出できた,(3)が7,(4)が1のとき
4
導出完了
7
1

問題文

【問題】

対数表を用いずに、以下の問いに答えよ。

(1) 次の不等式を示せ。
$$
\frac{3}{10} < \log_{10}(2) < \frac{4}{13}
$$

(2) 次の不等式を示せ。
$$
0.47 < \log_{10}(3) < 0.48
$$

解答形式

(1),(2)はそれぞれ証明完了としてくれれば問題ないです。※(1)は１行目(2)は2行目にお願いします
·解答例　(1),(2)がどちらも示せたとき
証明完了
証明完了

【問題】

次の和 $S$ の整数部分を求めよ。

$$
S = \sum_{n=1}^{100} \left( \sqrt{n(n+1)} - n \right)
$$
整数部分のみ答えてくださいね