papaonn

問題文

次の関数方程式を満たす関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ をすべて求めよ。
$$f(f(x) + y) = f(x^2 - y) + 4xf(y)$$
さらに、実定数 $c$ に対して定義される方程式 $f(f(x) + y) = cx + f(f(y) - x)$ が、定数関数でない多項式解 $f(x)$ を持つための $c$ の条件を特定せよ。

解答形式

例）文章で解き方含め入力してください。

問題文

三角形 $ABC$ の内部の点 $P$ に対し、その等角共役点を $P^*$ とする。$P$ を通り各辺に平行な直線と他の 2 辺の交点を結んでできる 3 つの線分の中点が一直線上にあるとき、点 $P$ の軌跡 $C$ を求めよ。さらに、$P$ が三角形の重心であるとき、この直線と外接円の交点を $X, Y$ とし、線分 $XY$ の中点を $M$ とする。$\angle BMA = \angle CMA$ が成り立つための三角形 $ABC$ の形状に関する必要十分条件を求めよ。

解答形式

例）LaTeXと説明はカタカナで回答してください。

問題文

正の整数 $k \geq 2$ に対して、数列 $a_n$ を次のように定義する。
$$a_n = \sum_{i=1}^k i^n + \left( \prod_{i=1}^k i \right)^n - (k-1)$$
(1) 任意の素数 $p$ に対して、$p \mid a_n$ を満たす正の整数 $n$ が存在することを示せ。
(2) $k=3$ のとき、すべての正の整数 $m$ に対して $m \mid a_n$ となる正の整数 $n$ が無限に存在するか判定せよ。

解答形式

例）文章で書いてください。解法も見ます。