二等辺三角形の内心と傍心(2)

【補助線主体の図形問題 #078】
　今週来週と2週続けて内心と傍心をテーマにした問題をお送りします。補助線が活躍するのはいつも通りです。若干計算量が多いので、紙とペンを用意した方が安心できるかもしれません。暗算で解いてやるという初等幾何猛者の方はどうぞ暗算で解いてやってください！

解答形式

${}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{14.14}$
　入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #007】
　今回は図形問題の王道から円がらみの求角問題を用意しました。手慣れている方なら脳内で処理できるくらいの計算量です。どうぞ円と角度の世界を堪能してください。

解答形式

${}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
（例） $12^{\circ}$ → $\color{blue}{12.00}$　　$\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
　入力を一意に定めるための処置です。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

問題文

図の条件の下で、$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$ の値を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

図の条件の下で，線分 $AB$ の長さを求めてください．
※orthocenter：垂心，circumcenter：外心

解答形式

$AB^2$ の値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

【補助線主体の図形問題 #061】
　今週の図形問題はぐっと取り組みやすい問題を用意しました。補助線を引くとどこかで見た構図が現れるはずです。今まで横眼で眺めていただけの人もぜひ挑戦してみてください！

解答形式

${}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{14.14}$
　入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #074】
　今週の図形問題はシンプルにまとめてみました。自信のある方は暗算でねじ伏せてやってください！

解答形式

${}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{14.14}$
　入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #069】
　今週の図形問題は補助線の威力が味わえる1題となっています。腕に覚えのある方は暗算で、そこまでは……という方も紙に思いっきり補助線を書き込みながらお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{14.14}$
　入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #076】
　今週の図形問題は重めの1題となりました。計算量は大したことがないのですが、補助線の量が多めです。補助線の威力を味わうべく、いろいろと試行錯誤をお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{14.14}$
　入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

問題文

図の条件の下で、赤で示した線分の長さ $x$ を求めてください。

解答形式

$x^2$ の値を半角数字で解答してください。

【補助線主体の図形問題 #010】
　今年2021年の1月末から投稿を初めて10問目となりました。キリ番記念(？)に少しばかり手ごたえのある問題をお送りすることにします。うまい補助線を引けるだけでは不十分で、補助線を活かすための発想も必要です。じっくり腰を据えて補助線を戯れてみてください！

解答形式

${}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{14.14}$
　入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

問題文

一辺が $8$ である正三角形 $ABC$ の内接円と $AB,BC,CA$ との接点を $K,L,M$ とします。$\triangle ABC$ の外接円上の点 $P$ について、$PK^2+PL^2+PM^2$ の値を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

【補助線主体の図形問題 #065】
　今週の図形問題は二等辺三角形、外心に垂線、平行線と要素てんこ盛りです。要素が多いがゆえに思いつく方針も多いかもしれませんが、今回も暗算解法を仕込んであります。暗算からあまりに遠い方針に陥りそうなら、一旦間を置いてから解き直すのもいいかもしれません。存分に補助線解法をお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{14.14}$
　入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。