平面上にある直角三角形ABCと二次関数の変域

解説

A座標(-2,0)、B座標(0,2)から平面上のAO、OB(Oは原点)の長さはどちらも２と分かります。また、△ABCは直角三角形なので△ABOは１:１:√2の比率の直角三角形だと分かり、またABを底辺とした場合、その両端の底角はどちらも45°だと分かります。よってAB:BC＝1:2なのでBCの長さは2√2と計算できます。
y軸から直角にCに向けて引いた直線のy軸上の点をDとする...①と、∠CBDは180-(∠CBA＋∠ABO)で求められます。∠CBA＝90°、∠ABO＝45°なので、∠CBD＝45°...②と分かります。
①、②より二組の角が等しいので△AOB∽△CDBと分かり、また、AB:BC＝1:2なので、OB:BDも1:2ということが分かります。よってBDは4、CD:DB=1:1よりCDは４と求められます。

よってＣ座標は(-CD,OB＋BD)=(-4,2＋4)と求められます。A座標(-2,0)なので、これらをy=1/2 x+aの式に代入し、aについての方程式に変形すると、a＝-2とa＝4が得られます。よって-2～a～4。

この他にも、△AOBの△CDBの相似から二次関数を導きだし、Aに代入する方法も別解法として存在しますが、行うことは同じなので省略します。