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B

natsuneko 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2024年2月21日21:00 正解数: 13 / 解答数: 30 (正答率: 43.3%) ギブアップ不可
初等幾何
この問題はコンテスト「NGC」の問題です。

問題文

鋭角三角形 ABC について, 線分 BC 上に点 D を取り, 三角形 ABD の垂心を H1, 三角形 ADC の垂心を H2 とします. すると, BD=DC=H1H2=10, H1D:H2D=2:10 が成立しました. このとき, 三角形 ABC の面積としてあり得る値の総積を解答してください.

解答形式

答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.


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この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

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問題文

問題の数値設定に不備があったため、数値設定を変更します。申し訳ありません。(三角形 DEH の面積を 9 から 3 に変更しました。)

鋭角三角形 ABC の垂心を H, 外心を O とします. また, 直線 BH と線分 AC の交点を D, 直線 CH と線分 AB の交点を E とします. そして, 線分 DE の中点を N, 直線 HN と直線 AO の交点を X とします. このとき, A,X,O はこの順に並び, AX=3,XO=5 が成立しました. また, 三角形 DEH の面積が 3 であったとき, 三角形 ABC の面積を求めてください.

解答形式

答えは, 正整数 a,b を用いて a+b と表されるので, a+b の値を半角数字で解答してください.

A

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問題文

三角形 ABC の線分 AB 上に点 D, 線分 DC 上に点 E, 線分 AC 上に点 F を取ったところ, 以下が成立しました.
AED=ABE=EFC=60
EAC=19
DF=CF
このとき, EBC の大きさは, 度数法で N と表されるため, N を解答してください.

解答形式

答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.

D

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17月前

10

問題文

こちらも問題に不備があったため、数値設定を変更いたしました。不備が重なってしまいたいへん申し訳ありません。

正六角形 ABCDEF の線分 AC,BC,DE 上にそれぞれ点 P,Q,R を取ったところ, PQBC,PRDE,QAR=60 が成立しました. また, 三角形 APQ の外心を O, 三角形 APR の外心を O とし, 三角形 AOO の外接円と三角形 APQ の外接円の交点を X(A), 三角形AOO の外接円 と三角形 APR の外接円の交点を Y(A) とすると, BY=7 が成立しました. このとき, 線分 DX の長さを求めて下さい.

解答形式

答えは最大公約数が 1 である正整数 a,b,c によって bca と表されるため, a+b+c の値を半角数字で解答してください.

17月前

11

問題文

ABC の辺 AC に接する傍接円の中心を IB,辺 AB に接する傍接円の中心を IC とし,IBIC の中点を M とする.
IBIC=14,BC=10 のとき,MBC の面積を 2 乗した値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください

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問題文

直線 AT に点 T で接する円 Γ を描き,A を通る直線 mと円 Γ の交点を A に近い方から順に B,C とします.
また,CAT の二等分線と直線 BT,直線 CT の交点をそれぞれ D,E とします.
BD=4,DE=8,EC=9 となったとき,TBC の面積を S とすると,S2 は互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表されるので,a+b の値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

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問題文

ABC の外接円を O1 とし,辺 CA,辺 CB,円 O1 に接する円を O2 とします.また,円 O2 と辺 CA ,辺 CB,円 O1 の接点をそれぞれ P,Q,T とし,直線 TP と円 O1 の交点を R(T) とし,直線 TQ と円 O1 の交点を S(T)
TA=23,TB=35,TC=57 のとき,(四角形 ARCS の面積):(四角形 BSCR の面積)は互いに素な正の整数 a,b を用いて a:b と表されるので,a+b の値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

座王001(G1)

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問題文

鋭角三角形 ABC の垂心を H,外心を O とし,A から BC に下ろした垂線の足を D とします.
OH=3,AH:HD=7:2 であり,ABC の外接円半径が 5 であるとき,OD2 の値は互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表せるので,a+b の値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

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問題文

ABCにおいて,内心をI,重心をGとし,I からBCCAABに下ろした垂線の足をそれぞれDEFとすると,GEF上にあり,IG=1BD:DC=3:5を満たした.このとき,ABCの周長の2乗を求めよ.

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求める値は互いに素な正整数a,bを用いてabと表されるので,a+bを半角数字で解答してください.

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三角形 ABC の辺 AB,AC 上に BCDE となるよう D,E をとり,さらに,D,F,G,E がこの順に並ぶように点 F,G を線分 DE 上にとる.さらに,辺 BC と直線 AF,AG との交点をそれぞれ H,I とする.
三角形 ADF,四角形 FGIHAEG の面積がそれぞれ 3,5,8 であるとき,三角形 ABC の面積の最小値は正の整数 a,b および平方因子をもたない正の整数 c を用いて a+bc と表せるので,a+b+c の値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

D

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問題文

半径が 4 の円 Ω 上に2点 A,B を直径をなさないようにとり,A,B における Ω の接線の交点を C とします.三角形 ABC の垂心を H とし,3点 A,C,H を通る円と Ω の交点を D とすれば,AB=CD が成り立ちました.このとき,三角形 ABC の面積の 2 乗を求めてください.

追記:DA とします.

解答形式

半角数字で解答してください.

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下図で、六角形ABCDEFは正六角形、点L,H,G,I,K,Jは六角形ABCDEFの辺の中点です。赤い部分の面積が72㎠のとき、青い部分の面積は何㎠ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例)10

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誤りがあったため、解答を修正しました。迷惑をおかけして申し訳ありません。

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問題文

O1,円 O2 が点 P で外接しており,円 O1 上の点 Q における円 O1 の接線を引いたところ円 O2 と異なる 2 点で交わったので,その 2 交点を Q に近い方から順に A,B とします.
AP=4,AB=6,BP=9 となったとき,PQ2 の値は互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表せるので,a+b の値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.