座王001(ボツ問題)

問題文

$4\times9$ のマス目があり，$1$ つのマスの一辺の長さは $1$ とします．最も左下の点 $A$ から出発して，「線に沿って長さ $1$ だけ右または上または左に進む」という操作を繰り返して最も右上の点 $B$ にたどり着く経路のうち同じ線分を $2$ 回以上通過しないもの全てに対し，経路の長さの総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $a,b,c,d,e,f$ であるような $6$ 桁の整数を $A$ とし，十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $e,f,a,b,c,d$ であるような $6$ 桁の整数を $B$ とします．
相異なる $1$ 桁の整数 $a,b,c,d,e,f$ が $e>a>0$ を満たしながら動くとき，$A$ と $B$ の最大公約数の最大値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正 $7$ 角形 $ABCDEFG$ の外側に正 $6$ 角形 $ABPQRS$ を描きます．
このとき，$\angle{EGP}-\angle{GPR}$ の値は度数法で互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

半径が $1,2,3,4,5$ の同心円に半径 $5$ の円の直径を $1$ 本付け加えて出来る図形を一筆書きで描く方法は何通りあるかを求めてください．
ただし，同じ道でも向きが異なる一筆書きは異なるものとして数えるものとします．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$\triangle{ABC}$ の外接円を $O_1$ とし，辺 $CA$，辺 $CB$，円 $O_1$ に接する円を $O_2$ とします．また，円 $O_2$ と辺 $CA$ ，辺 $CB$，円 $O_1$ の接点をそれぞれ $P,Q,T$ とし，直線 $TP$ と円 $O_1$ の交点を ${R}(\ne{T})$ とし，直線 $TQ$ と円 $O_1$ の交点を $S(\ne{T})とします．$
$TA=23,TB=35,TC=57$ のとき，(四角形 $ARCS$ の面積):(四角形 $BSCR$ の面積)は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $AB,AC$ 上に ${BC}\parallel{DE}$ となるよう $D,E$ をとり，さらに，$D,F,G,E$ がこの順に並ぶように点 $F,G$ を線分 $DE$ 上にとる．さらに，辺 $BC$ と直線 $AF,AG$ との交点をそれぞれ $H,I$ とする．
三角形 $ADF$，四角形 $FGIH$，$AEG$ の面積がそれぞれ $3,5,8$ であるとき，三角形 $ABC$ の面積の最小値は正の整数 $a,b$ および平方因子をもたない正の整数 $c$ を用いて $a+b\sqrt{c}$ と表せるので，$a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

以下の条件を全て満たす $20001$ 個の整数の組 $(a_0,a_1,…,a_{20000})$ を 階段状な組 と定義します．

• $a_0=a_{20000}=0$ ．
• $k=0,1,…,19999$ について $|a_{k+1}-a_k|=1$ ．

また，階段状な組 $A=(a_0,a_1,…,a_{20000})$ に対して スコア $S(A)$ を以下のように定めます．

• 以下の条件を全て満たす $1001$ 個の整数の組 $(x_0,x_1,…,x_{1000})$ の個数．
  $\quad$ ・ $k=0,1,…1000$ について $x_k$ は $0$ 以上 $20000$ 以下の 偶数 ．
  $\quad$ ・ $k=0,1,…999$ について $x_k\lt x_{k+1}$ ．
  $\quad$ ・ $a_{x_{1000}}=0$ ．

階段状な組全てに対してスコア $S(A)$ の総和を求め，その値が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．

解答形式

答えを入力してください．

問題文

$4\times4$ のマス目の各マスに $3,2,6$ のいずれかを書き込む方法のうち，どの横の行に書かれた $4$ 数の積も立方数であり，どの縦の列に書かれた $4$ 数の積も立方数であるような書き込み方は何通りあるかを求めてください．
ただし，回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数えるものとします．また，$3,2,6$ のうち使わない数があっても構いません．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$\triangle{ABC}$ の辺 $AC$ に接する傍接円の中心を $I_B$，辺 $AB$ に接する傍接円の中心を $I_C$ とし，$I_BI_C$ の中点を $M$ とする．
$I_BI_C=14,BC=10$ のとき，$\triangle{MBC}$ の面積を $2$ 乗した値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください

問題文

以下の[条件]を満たす $3$ 桁の正の整数(つまり，$100$ 以上 $999$ 以下の正の整数)の組 $(A,B)$ すべてに対し，$A+B$ の値の総和を解答してください．

[条件] $A^2$ の下 $3$ 桁は $B$ であり，$B^2$ の下 $3$ 桁は $A$ である．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正の整数 $n$ に対し，「 $n$ の各位の積の一の位」を $f(n)$ とします．
$f(1000)+f(1001)+f(1002)+\cdots+f(9998)+f(9999)$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

円 $O_1$，円 $O_2$ が点 $P$ で外接しており，円 $O_1$ 上の点 $Q$ における円 $O_1$ の接線を引いたところ円 $O_2$ と異なる $2$ 点で交わったので，その $2$ 交点を $Q$ に近い方から順に $A,B$ とします．
$AP=4,AB=6,BP=9$ となったとき，${PQ}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．