自作問題C1

imabc 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2024年3月30日18:18 正解数: 4 / 解答数: 6 (正答率: 66.7%) ギブアップ数: 3

問題文

以下の条件を全て満たす $20001$ 個の整数の組 $(a_0,a_1,…,a_{20000})$ を 階段状な組 と定義します.

  • $a_0=a_{20000}=0$ .
  • $k=0,1,…,19999$ について $|a_{k+1}-a_k|=1$ .

また,階段状な組 $A=(a_0,a_1,…,a_{20000})$ に対して スコア $S(A)$ を以下のように定めます.

  • 以下の条件を全て満たす $1001$ 個の整数の組 $(x_0,x_1,…,x_{1000})$ の個数.
    $\quad$ ・ $k=0,1,…1000$ について $x_k$ は $0$ 以上 $20000$ 以下の 偶数
    $\quad$ ・ $k=0,1,…999$ について $x_k\lt x_{k+1}$ .
    $\quad$ ・ $a_{x_{1000}}=0$ .

階段状な組全てに対してスコア $S(A)$ の総和を求め,その値が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.

解答形式

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・ $0 \leq a_n \leq n+1$
・ $a_{2024} = 2025$

このとき,
$$\sum_{n = 1}^{2024} \sqrt{{a_{n-1}}^2 + {a_{n}}^2 - a_{n-1}a_n - 2na_{n-1} + na_n + n^2}$$
には最小値が存在するため, 最小値を取るときの $a_{1000}$ の値を求めて下さい. ($a_{1000}$ の値は一意に定まります.)

解答形式

答えは, 互いに素な正整数 $a, b$ によって $\cfrac{b}{a}$ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.


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半角数字で解答してください.

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半角数字で解答してください.

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[見せ算の計算法]
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0\ (a=bのとき) \\
a\ (a>bのとき) \\
b\ (a<bのとき)
\end{aligned}$

とし,$a*b$ を「 $a$ と $b$ の『眼』」と呼ぶ.

$0,1,2,3,4$ を $6$ 個ずつ左右一列に並べて得られる $M=\dfrac{30!}{({6!})^5}$ 通りの数列のうち,左に位置する $2$ 数を消し,その $2$ 数の『眼』をこの数列の左に書き込むという操作を $29$ 回繰り返した時,最後に $3$ が残るような $30$ 個の数の並べ方の総数を $N$ とします.このとき,$\dfrac{N}{M}$ は互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{q}{p}$ と表せるので,$p+q$ の値を解答してください.

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問題文

下図において,黒線の図形は正十五角形であり,青線の長さは $8$ ,緑線の長さは $6\sqrt{5} - 2 + 2\sqrt{6}\sqrt{5 - \sqrt{5}}$ です.
このとき,赤線の長さは,正整数 $a,b,c,d,e,f,g$ (ただし,$c,d,e,g$ は平方因子を持たない)を用いて $a - b\sqrt{c} + (\sqrt{d} + \sqrt{e})\sqrt{f-\sqrt{g}}$ と表せるので,積 $abcdefg$ の値を解答してください.

解答形式

余分な空白や改行を入れずに,半角数字のみを用いて解答してください.