外心と内心

問題文

下図で、AB=AF=BC=CD=EB、$∠$EAB=80°、$∠$ABC=40°です。
$∠$FDEの大きさは何度ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

整数$x, y, z$は$0<x<28,0<y, 0\leq z<20$ と $37x-13y=2z$ を共に満たします。このような整数の組$(x,y,z)$はいくつあるでしょう？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$AB=5, AC=7$の三角形$ABC$があり重心を$G$，内心を$I$とすると$BC //GI $であった. このとき三角形$ABC$の面積の$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$，外心を $O$ とし，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします．
$OH=3,AH:HD=7:2$ であり，$\triangle{ABC}$ の外接円半径が $5$ であるとき，${OD}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正方形と正三角形を組み合わせた以下の図において、青で示した角の大きさを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。
解答は度数法で、単位を付けずに0以上180未満の整数として解答してください。

問題文

円 $\omega$ 上に相異なる $2$ 点 $A,B$ がある．ただし，弦 $AB$ は $\omega$ の直径ではない．$A,B$ における $\omega$ の接線をそれぞれ $l,m$ とする．劣弧 $AB$ 上（端点を除く）に点 $P$ をとり，$P$ を通り $l$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって，$P$ でないものを $C$ とし，$P$ を通り $m$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって，$P$ でないものを $D$ とする．$l$ と直線 $BC$ の交点を $E$，$m$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする．また，線分 $AF$ と線分 $BE$ の交点を $X$，線分 $CF$ と線分 $DE$ の交点を $Y$ とする．$AB=\sqrt{69}$，$AC=3$，$BD=6$ がそれぞれ成り立っているとき，線分 $XY$ の長さは，互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない $2$ 以上の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a+b+c$ の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

鋭角三角形$ABC$があり外心を$O$とする．直線$BO$と$AC$の交点を$D$とおくと$BC＝BD，DO＝5，AD＝6$であったので$AB$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

中心が$O$の円と線分$AB$の二つの交点のうち$A$から近い順に$C,D$とすると
$BO=11，CO=7，AC=CD=DB$ であった.
このとき三角形$ABO$の面積の$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

図の条件が成り立つ三角形において、$x$ で示した辺の長さを解答してください。

解答形式

$x=\sqrt{\fbox{アイウ}}$ と表されるので、文字列 アイウ を解答してください。

問題文

$1$ 以上 $20^{24}$ 以下の整数 $N$ であって、次の条件を満たすものはいくつあるか。

条件: 何度でも微分可能な実数値関数 $f$ であって、ある実数 $x$ に対して $f(x)\ne0$ であり、さらに任意の実数 $x$ に対して $$\frac{f(x)}{N}=f\left(\frac{x-1}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)$$ を満たすようなものが存在する。

解答形式

条件を満たす $N$ の個数を、半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

問題文

$\triangle{ABC}$ の外接円を $O_1$ とし，辺 $CA$，辺 $CB$，円 $O_1$ に接する円を $O_2$ とします．また，円 $O_2$ と辺 $CA$ ，辺 $CB$，円 $O_1$ の接点をそれぞれ $P,Q,T$ とし，直線 $TP$ と円 $O_1$ の交点を ${R}(\ne{T})$ とし，直線 $TQ$ と円 $O_1$ の交点を $S(\ne{T})とします．$
$TA=23,TB=35,TC=57$ のとき，(四角形 $ARCS$ の面積):(四角形 $BSCR$ の面積)は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

図の条件の下で，線分 $AB$ の長さを求めてください．
※orthocenter：垂心，circumcenter：外心

解答形式

$AB^2$ の値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．