2^nの1桁目が9となる最小のnを求めよ。
半角数字で答えること。
2^3=8 2^10=1024
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xy=(x-1)(y-1)+10 となるxyの総和を求めよ。但し、x,yは正整数とする。
半角数字で入力すること。
任意の自然数$m,n$に対し、$A(m,n)$は $$ A(1,n) = n, \quad A(m+1,n) = \sum_{k=1}^{n}A(m,k) $$を満たす。このとき、$A(x,y)=2024$を満たす自然数$x,y$の組$(x,y)$を求めよ。
$x+y$の総和を半角で解答してください。
自然数a b c について abc-ab-a=17 a<b<c となる自然数のa b c の組の数を答えなさい
半角数字で答えてください
$\text{n-テトロミノ}$とは、正方形を四つ、下のようにつなげた図形です。
orangekidくんはこの図形が大好きなので、下の図のような形をした画用紙からなるべく多くの$\text{n-テトロミノ}$を切り出したいです。 $\text{n-テトロミノ}$を裏返しの状態で切り出してもよいものとするとき、orangekidくんは最大何個の$\text{n-テトロミノ}$を切り出せるでしょうか。 「個」はつけずに、整数値のみで答えてください。
一辺の長さが $1$ の立方体 $1800$ 個から構成される,長さ $10,12,15$ の辺からなる直方体があります. このとき,直方体の対角線のうちの $1$ つについて,これが内部を通過する立方体の個数を求めてください.
ただし,立方体の内部とは,頂点や辺・面そのものを含まないものとして考えます.
求めるべき値は非負整数値として一意に定まるので,これを解答してください.
$m$ を正の整数とします.「任意の正の整数 $n$ について,「 $n^3$ が $10!$ の倍数ならば $n^2$ は $m$ の倍数である」が成り立つ」という主張が正しくなるような最大の $m$ を求めてください.
半角数字で解答してください.
$ $ 地理奈ちゃんは,$1$ を含んだ数列をいくつか思い浮かべようとしています. $ $ そこで,以下のルールをすべて守った数列を,良い数列と呼ぶことにします:
$ $ この時,良い数列は全部でいくつありますか?
非負整数を半角で解答してください.
( https://mathlog.info/articles/Lf8QaKPklfv156yuq309 問題13) 三角形$ABC$において外接円,内接円,角$A$内の傍接円の半径をそれぞれ$R,r,r_A$とすると
$$R=14,r=6,r_A=19$$
が成り立ちました.このとき$BC$の長さの二乗を求めてください.
答えを入力してください.
$ $ 地理奈ちゃんは,$10$ 面サイコロを $4$ つ持っており,それを $4$ つ全て同時に $1$ 回振ることを考えます.ここでの $10$ 面サイコロは,$1$ 以上 $10$ 以下の整数の目が同様に確からしい確率で $1$ つ出るサイコロとします. $ $ また,サイコロの出目により,それぞれのサイコロに対して,成功数を以下のように定義します.
$ $ この時,$4$ つのサイコロを振って,その成功数の合計が $0$ 以下になる確率は,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ を解答してください.
【追記】 難しすぎるという意見をいただいたので難易度を2→3に変更しました。
桁数が偶数の自然数$n$の各位を$2$桁ごとに分割し、そうしてできる自然数の和を$S(n)$のする。例えば、 $S(2024)=20+24=44,S(120321)=12+3+21=36$ である。 さて、 $n+S(n)=5233$ を満たすような$n$を全て求めよ。
$n$の値を整数でお答えください。
以下の値を求めてください。 $$ \begin{align} \sum_{k=1}^{33333^2+200\cdot33333}\sqrt{\frac{2k+19999-2\sqrt{k^2+19999k+99990000}}{k^2+19999k+99990000}} \end{align} $$
答えは互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表されるので、 $p+q$の値を解答してください。
(誰かがもう作ってそうです...知っている方がいれば教えてほしいです)
$101\times101$ のマス目の各マスには $0,1$ のいずれかが書かれており,どの $2\times2$ のマス目についても $0,1$ が少なくとも $1$ つずつは書き込まれているとき,マス目に書かれた数の和の最大値を求めてください.