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ある教室には,縦 6 列,横 3 列で横長の机が並んでおり,1 つの机ごとに横並びに 2 つずつ座席があるため,36 個の座席と 18 個の机があります.A くん,B くん,C くんの 3 人が,それぞれ 36 個の座席から 1 つずつ異なる座席を選び座ります. ここで,以下の条件を満たしました.
このとき,3 人の座席の座り方は全部でいくつありますか?
非負整数を半角で解答してください.
p,d,q,b,a,e,s の 7 文字を使い,6 文字の文字列を作ることを考えます.(使わない文字が必ず 1 文字以上出てきます.) 文字列において,1,6 文字目,2,5 文字目,3,4 文字目が後述の対応する文字どうしになるようにする必要があります. 対応する文字は以下のとおりです.
なお,d と p のように,対応する文字どうしであり指定された文字目に 2 文字がいれば文字列内で順序が入れ替わってもよいものとします. また,この文字列内において,同じ文字を使えるのは 2 回までとします. 以上の条件を全て満たした文字列は全部でいくつありますか?
5 種類の大きさ 1,2,3,4,5 の服がそれぞれ 3 枚ずつあり,合計 15 枚にはすべてに相異なる色が着色されています.A さん,B さん,C さんの 3 人は,これら 15 枚の服からそれぞれ 1 枚ずつ異なる服を選んで着ます.ここで,3 人が着ることのできる服の大きさは以下の通りです.
このとき,3 人の服の選び方はいくつありますか? ただし,3 人全体で見て同じ服を選んでいても着ている人が異なる場合違う選び方として区別します.
追記:6/26 解説の誤字を修正しました。ご指摘ありがとうございます。
正方形の中を等間隔に区切ってできた 6×6 のマス目があります.正方形の中心を中心として点対称となるようにマス目を塗ることを考えます. 正方形全体で 10 マスちょうどを塗るとき,マス目の塗られ方は何通りありますか?ただし,反転・回転して一致するものは全て区別します.
1 を 3 つ,2 を 1 つ,7 を 2 つを全て使い,それらを並べ替えてできた長さ 6 の文字列は全部でいくつありますか? ただし,同じ文字は区別しません.
一辺の長さが 4 の正三角形 ABC について,BC の中点を M とし,線分 BC 上に BD=1 なる点 D をとります.3 点 ABD を通る円と3 点 ACM を通る円との交点を X とするとき,AX の長さの 2 乗を求めてください.ただし,求める値は,互いに素な正整数 a,b を用いて ba と表せるので,a+b の値を解答してください.
半角数字で解答してください.
12桁の整数111111111111の素因数の総和を求めてください. 但し,素因数の1つとして4桁の素数が含まれます.
整数で答えてください.
n-テトロミノとは、正方形を四つ、下のようにつなげた図形です。
orangekidくんはこの図形が大好きなので、下の図のような形をした画用紙からなるべく多くのn-テトロミノを切り出したいです。 n-テトロミノを裏返しの状態で切り出してもよいものとするとき、orangekidくんは最大何個のn-テトロミノを切り出せるでしょうか。 「個」はつけずに、整数値のみで答えてください。
地理奈ちゃんは,1 を含んだ数列をいくつか思い浮かべようとしています. そこで,以下のルールをすべて守った数列を,良い数列と呼ぶことにします:
この時,良い数列は全部でいくつありますか?
凸五角形 ABCDE は以下を満たします. {AB=BC=CD=DE2∠BAE=∠CBA2∠ECA=∠AEC=∠BAE+30∘ このとき,互いに素な正整数 a,b を用いて ∠EDB=(ab)∘と表すことができるので,a+b を答えてください.
AB=13,AC=15 なる三角形 ABC について,直線 BC 上に AP=12 なる点 P がただ一つ存在しました.三角形 ABC の面積としてありうる値の総和を求めてください.
半径が 4 の円 Ω 上に2点 A,B を直径をなさないようにとり,A,B における Ω の接線の交点を C とします.三角形 ABC の垂心を H とし,3点 A,C,H を通る円と Ω の交点を D とすれば,AB=CD が成り立ちました.このとき,三角形 ABC の面積の 2 乗を求めてください.
追記:D≠A とします.