Combination

問題文

$\sqrt{N+\sqrt{8999\cdot9001}}$が実数となり二重根号が外れるとき、
整数$N$の値を全て求めてください。
ただし$9001$,$8999$は素数であることが保証されます。

また、二重根号が外れるとは、
その値を正の有理数$a,b\cdots$を用いて$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\cdots$と表せることをいいます。

解答形式

$N$として考えうる全ての値の総和を求めてください。

問題文

実数$x$についての以下の方程式を解いてください。($0\leq x\leq 1$)
$$
\tan(\color{red}{\sin^{-1}x})+\cot(\color{blue}{\cos^{-1}x})=\sin(\color{green}{\cot^{-1}x})+\cos(\color{purple}{\tan^{-1}x})
$$
ただし$\cot{x}$は$\frac{1}{\tan{x}}$を意味し、$\sin^{-1}x,\cos^{-1}x,\cot^{-1}x,\tan^{-1}x$でそれぞれの逆関数を表すこととします。

（※定義域と値域の取り方はWikipedia等にあるような一般的なものを用います）

解答形式

解は一つに定まり、整数$a,b$を用いて$x=\sqrt{a+\sqrt{b}}$と書けるので、$a^{10}+b^{10}$の値を半角英数字で入力してください。

問題文

$$
x+ \frac{1}{x} =1
$$
のとき以下の値を求めよ
$$
\sum_{k=1}^{10^m}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad
$$
ただしmは自然数である。

回答形式

半角数字で答えてください。
また、複数個の値を取りうる場合は値の小さい順に改行して入力してください。

少し問題を変更いたしました。ご迷惑をおかけしてしまい申し訳ございません。

問題文

$x,y$を整数とします。次の式を満たす$x,y$の組$(x,y)$を全て求めてください。$$x^2y^2+3x^2y-12xy^2-5x^2-36xy+25y^2+60x+78y=123$$

解答形式

$x$と$y$の積$xy$としてあり得るものの総和を半角で解答してください。

問題文

すべての正整数 $n$ に対して $a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}$ を満たす数列 $\{a_n\}$ に対して、次の式が成立する。

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n}=1998, \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{3n}}{3^n}=1106$$

この時、$|a_{1998}a_{1106}|$を求めよ。

解答形式

答えをそのまま入力しなさい。

問題文

$17$で割り切れ、各桁の数の和も$17$で割り切れるような正整数を$\textbf{良い数}$と呼びます。$\textbf{相異なる}$良い数同士の差の絶対値としてあり得る最小値を求めなさい。

追記

不備が見つかったため、答えを変更しました。本当に申し訳ございません。

問題文

素数 $p,q$ が
$$4^p+2^p+1=p^2q$$を満たします. このようなすべての組 $(p,q)$ に対して, $p+q$ の総和を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

問題文

$$\sum_{k=m}^{n}k!=p$$を満たす自然数m,nと素数pの組(m,n,p)を全て求めよ。

解答形式

mが小さい順に、そして組ごとに改行して解答してください。

例えば(m,n,p)=(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)のときは、
1,2,3
2,3,4
3,4,5
のように入力してください

問題文

自然数 $x$ に対して, $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表します.
$$d(4n-1)+d(4n)=8$$ を満たす自然数 $n$ について, 小さいほうから $7$ 個の総和を求めてください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記
=8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました
大変申し訳ありません

問題文

次の$x,y$についての連立方程式を実数の範囲で解いてください。

$$
\begin{cases} \Large\frac{9}{x^2-xy+y^2}+\frac{7}{x^2+xy+y^2}=\frac{x}{256} \\ \Large \frac{9}{x^2-xy+y^2}-\frac{7}{x^2+xy+y^2}=\frac{y}{256} \end{cases}
$$

解答形式

解となる$(x,y)$の組全てについて$x+y$を足し合わせたものを半角英数字で入力してください。

問題文

$A,B$を全ての要素が$2$以上$2024$以下の自然数からなる集合で$A$と$B$の和集合の要素数が$2023$個であるものとします。$A,B$から要素を自由に$1$つずつ選ぶとき、どのように要素を選んでもその$2$つの数の最大公約数が$1$になるような$A,B$の組$(A,B)$の個数を求めてください。ただし、必要ならインターネットにある素数表を検索して用いても構いません。また、空集合も条件を満たすものとしてください。

問題を少し変更いたしました。

解答形式

答えは正の整数$n$を用いて$2^n$と表せますから$n$を半角で1行目に入力してください。

以下の極限値を求めよ。

$$\lim_{n\rightarrow{\infty}}\biggr(\lim_{x\rightarrow{0}}\prod_{k=1}^n\frac{kx}{\sin(k+1)x}\biggr)
$$