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赤いボールと青いボールがそれぞれ十分に入っている袋から $50$ 個のボールを取り出して一列に並べました．このとき，次の条件を満たす取り出し方において，取り出した青いボールの個数としてあり得る値の総和を求めてください． ・連続する $3$ 個のボールの少なくとも $1$ つは赤いボールである．
半角数字で解答してください．
正整数 $a,b$ の最大公約数は $12$ ，最小公倍数は $360$ でした．このとき $(a,b)$ としてあり得る組すべてについて $a+b$ の総和を求めてください．
実数 $a,b$ が $a+b=10$ を満たすとき，$a^3+b^3$ の最小値を求めてください．
$a, b$ を整数とします．$x$ についての方程式 $$ x^2+ax+b=0 $$について，$a+b=k$ となるすべての $(a, b)$ の組についてそれぞれの方程式を解いていくと，方程式が整数解をもつ(重解含む)ような $(a, b)$ の組が $4$ 種類のみ存在しました．$0≦k≦20$ としたとき， $k$ としてありうる値の総和を求めてください．
半角数字で解答してください。
$$2^p+q^2=5r$$ を満たす $100$ 以下の素数の組 $(p,q,r)$ 全てにおいて，$pqr$ の総和を求めてください．
通常のサイコロを，素数の目が $2$ 回出るまで振り続けます．振った回数が $10$ 以下の素数である確率は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表せるので，$p+q$ を解答してください． 通常のサイコロとは，$1$ から $6$ までの目が存在し，それらが等確率に出現するサイコロを指します．
円に内接する四角形 $ABCD$ の対角線の交点を $P$ としたとき， $$AB=14\, , AP=13\, ,AD=16\, ,BP=PD$$ が成り立ちました．このとき $AC$ の長さを求めてください．ただし求める答えは互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表せるので，$p+q$ を解答してください．
$\frac{n}{144}$が$1$より小さい既約分数になるような自然数$n$の個数を求めよ。
半角算用数字で答えてください。
垂心を $H$ とする鋭角三角形 $ABC$ において，直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると， $$BH=2,CH=7,DH=1$$ が成り立ちました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください．
半角数字で入力してください。
△ABCの重心をGとするとAB=5, AC=7, BG=2であった. このときCGの長さの2乗を解答してください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．
一辺の長さが $4$ の正三角形 $ABC$ について，$BC$ の中点を $M$ とし，線分 $BC$ 上に $BD=1$ なる点 $D$ をとります．$3$ 点 $ABD$ を通る円と$3$ 点 $ACM$ を通る円との交点を $X$ とするとき，$AX$ の長さの $2$ 乗を求めてください．ただし，求める値は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．
$\dfrac{777777777}{888888}$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
