test

問題文

$x>1 , y>1$で、
$α = log_4 x , β = log_8 y $ と定める。 $2α + 3β =2 $ のとき、$x+y $ のとりうる最小の値を求めよ。

Sを0以上10以下の自然数の集合として、
P君は、xy座標平面$S^2$の盤面上で、スタートからゴールへ移動する。xが増加する方向が右で、yが増加する方向が上である。6種類の点が存在する。
スタート…(0,0)で、P君が可能な動きはバイオレットと同じである。
ゴール…(10,10)
ネイビー…スタート、ゴール以外の点について、xがyの倍数なら(x,y)はネイビーであり、xがyの倍数でないなら(x,y)はネイビーでない。P君はネイビーに移動できない。
バーミリオン…P君がこの点にいるとき、P君は1つ上へ移動するか、2つ右、1つ下に飛んで移動することができる。
バイオレット…P君がこの点にいるとき、P君は1つ右へ移動するか、2つ上、1つ左に飛んで移動することができる。
アイボリー…P君はアイボリーに移動できない。アイボリーは全部で5個存在する。

ただし、P君が移動して座標平面$S^2$から飛び出てはいけない。
全ての$S^2$に含まれる点のうち、スタート、ゴール、ネイビー以外の点に自由にバーミリオン、バイオレット、アイボリーのいずれかを塗ることができ、その盤面AについてP君がスタートからゴールに行く方法の総数をF(A)とする。
F(A)の最大値をXとし、
全ての盤面Aについて、F(A)の総和をYとし
Yを10007で割った余りをZとして、XとZの10進法における文字列の結合を求めよ。

24×24の方眼紙に色を塗る。使う色は、ビリジアン、エメラルド、ライムである。
色を塗った後、方眼紙の上下をねじらずに丸めて繋げると筒状になり、さらに筒の端同士をねじらずに丸めて繋げるとトーラスになる。このとき、どのマス目に対しても次の条件を満たした。

・自身のマスに隣り合う4マスのうち、斜めに繋がっていない2マスを選ぶと、必ずどちらかが自身と同じ色で、どちらかが自身と異なる色である
・任意の2×2の正方形内の色に関して、同じ色で隣り合っている2マスが存在しなければ、正方形内に3種類の色が存在する

あり得る塗り方は何通りあるか。但し、方眼紙を回転させて一致するものは異なるものとして数える。

この問題は、コンテスト機能のテストをするために投稿します。大喜利でもどうぞ。
$$2+2=?$$

Aさんは次のゲー厶を行った。
Aさんはコインを持っていない。
2つのボタンがある。片方を押すと$1/3$の確率でコイン、もう片方を押すと$2/3$の確率でコインが得られる。4050回ボタンを押して2025個のコインが得られるようにAさんが最善の行動をした際、Aさんは次の条件を満たした。
①4050回スイッチを押した後コインを2025持っていた。
②2n回スイッチを押した後コインをn個持っている、という状態が0以上3回以下発生した。(1≦n≦2024)
条件①②を同時に満たす確率をある既約分数$\frac{a}{b}$を用いて
$\frac{a}{b}×_{4050}C_{2025}×(\frac{2}{9})^{2025}$
と表せるので、a+bを求めよ。

問題文

実数$x$についての以下の方程式を解いてください。($0\leq x\leq 1$)
$$
\tan(\color{red}{\sin^{-1}x})+\cot(\color{blue}{\cos^{-1}x})=\sin(\color{green}{\cot^{-1}x})+\cos(\color{purple}{\tan^{-1}x})
$$
ただし$\cot{x}$は$\frac{1}{\tan{x}}$を意味し、$\sin^{-1}x,\cos^{-1}x,\cot^{-1}x,\tan^{-1}x$でそれぞれの逆関数を表すこととします。

（※定義域と値域の取り方はWikipedia等にあるような一般的なものを用います）

解答形式

解は一つに定まり、整数$a,b$を用いて$x=\sqrt{a+\sqrt{b}}$と書けるので、$a^{10}+b^{10}$の値を半角英数字で入力してください。

問題文

cipher君は98％の確率で佐る。いまからcipher君が佐るのを失敗するまでに佐る回数をPとする。
Pの分散を求めろ

解答形式

非負整数で求めろ

問題文

ある円周上に点をランダムに無限個打ち，打った順に $A_1,A_2,A_3,\cdots$ とします．また，以下のルールに従い点つなぎを行います．

ルール

• ペン先を $A_1$ に置く．
• 現在のペン先が $A_i$ にあるとき，$A_i$ と $A_{i+1}$ を線分で結ぶ．このとき，ペン先は $A_{i+1}$ へと移動する．
• 途中で他の線分と端点を除いて交わってしまう場合，現在の線分を消して点つなぎを終了する．

引くことの出来る線分の本数の期待値を $E$，分散を $V$ としたとき $V=f(E)$ となる整数係数多項式 $f$ がただ $1$ つ存在するので，$|f(1685)|$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください

3つの空箱がある。次のルールで2人で交互に石を箱に入れる。
・どちらかの行動を行う
　・1つの箱に1つ石を入れる。
　・既に石が入っている1つの箱に、今入っている個数の石をその箱に入れる
(つまり、石の個数が倍になる)
・ただし、既に箱にN個以上入っている場合はこれ以上石を入れられない

全ての山の石の個数をそれぞれN以上にした方が勝ちである。後手必勝となる2025以下のNの総和を求めよ。

N×Nのマス目にNこの駒を置くと、ある面積N以上の長方形のエリアで、エリア内に駒が存在しないものは存在しなかった。このような駒の配置方法の総数をf(N)として、$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty } f( i)$を計算して下さい。

次の条件を満たす2025以下のnはいくつ存在しますか

条件
$f(n)=4d(n)$として、
($d(n)$はnの正の約数の個数)
$f^5(n)+f^{1278}(n)=56$が成立する。
(fの肩は関数の合成回数を表す)

問題文

半径1の円上に3点A,B,Cを取る
三角形ABCの面積の最大値を答えよ

解答形式

答えのみ