Test 2

$$\int^1_0\int^{\sqrt{1-z^2}}_0\sqrt{1-z^2-y^2}dydz$$

問題文

△ABC(AB＜AC)の垂心をH、外心をOとし、直線HOと辺AB,BCの交点をD,Eとし、点Eは線分BCを3:1に内分している。このとき、AD/DBの値を求めなさい。ただし、Bの側からD,H,O,Eの順に位置している。

解答形式

互いに素な正の整数a,bを用いて、b/aの形で答えてください。
解答には
AD/DB=b/aと答えてください。

この問題には、必ず最初に解答をしてください。
解答はどんなものでも構いません。もし迷った際は、以下の文章をコピーペーストしても構いません。
「生命、宇宙、そして万物についての究極の疑問の答えは42です」
最初に解答されなかった場合、以降の解答は無効となります。

問題文

(1) $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$を用いて, $\displaystyle\lim_{t\to +0}\int_{t}^{1} \log{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}}\, d\theta = -\log{2}$を示せ(極限値の存在は認めてよい). これを用いて$\displaystyle\lim_{t\to + 0}\int_{t}^{1} \dfrac{\theta\cos{\frac{\pi}{2}\theta}}{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta$ を求めよ.

(2) $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \left(\int_{\frac{1}{n}}^{1} \sqrt[n]{\sin{\dfrac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta\right)^{n}
$を求めよ.

解答形式

電卓などを利用することで, (1)の答えを $L_1$ とし, (2)の答えを $L_2$ とするとき, $L_1 + L_2$ の値を小数点第5位まで表示したものを回答してください. （例：0.1234567なら0.12345と解答する）

数列${a_n}$を以下のように定義する。
$$
\begin{eqnarray}
a_1&=&\int_0^1dx\\
a_{n+1}&=&\int_0^{a_n+1}x^{a_n}dx
\end{eqnarray}
$$
このとき、$\log_{10}(a_5)$の値を求めよ。

問題文

$\sin \angle BAC = \dfrac{7}{8}$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ について，$B$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $D$，$C$ から $AB$ に下ろした垂線の足を $E$ とします．また，線分 $BC$ 上に点 $F$ を $\angle DEF = 90^\circ$ を満たすように取ったところ $BF=2, CF=6$ が成立しました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください．ただし，答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角整数値で解答してください．

次の値を小数第2位まで答えよ。
$$\int_0^1\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2}2}dx$$
ただし必要ならば以下のリンクを使ってもよい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/正規分布#正規分布表

$(x,y)$を$x^2+y^2=1,x\geqq0,y\geqq0$を満たすようにとる。
$z=(x,y)\cdot(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2})$としたとき、以下の値を求めよ。
$$\int_0^1zdx$$

問題文

自然数$a,b,c,d$は
$$
a\neq b
$$ $$
(a+b)(a-b)+(ad-bc)=0
$$ $$
bc-a^2=1
$$
を満たしています.このとき
$$
\frac{c-d}{a-b}
$$
の取り得る値を全て求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.複数ある場合は小さい順に一行ずつ入力してください.
Ex:答えが「1」と「-$\frac{3}{89}$」と「100」のとき
-3/89
1
100
と解答してください.

問題文

$p,q$を素数、$n$を整数とします。
$$
p^{4}+2q^{2}-2^{n}=635
$$
を満たす$p,q,n$の組$(p,q,n)$を全て求めてください。

解答形式

$p+q+n$の値の総和を半角で解答してください。

問題文

$\triangle{ABC}$ について直線 $BC$ 上に $W,B,C,E$ の順と並ぶように点 $W,E$ を取ると以下のことが成立しました．

• $AC=35, AW=45,BW=36$
• $BC:CE=1:8$
• $\triangle AWC$ は鈍角三角形であり，その面積は$72\sqrt{111}$

このとき $\triangle{BAE}$ の外心を $O$ とすると，互い素な正整数 $a,b$ を用いて，
$$\triangle{BAE}:\triangle{WAO}=a:b$$
と面積比が表せるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角整数で入力してください．

$a$は$x$と独立であるとする。
$x$の方程式
$$(\cos^4x)^{\log_2(a\sin x)+1}=(a\sin2x)^{\log_2(a\sin2x)}$$
の$0\leqq x\leqq \frac\pi2$における解を$y$とする。
この時、以下の値を求めよ。
$$\int_0^1\frac1{\sin^2y}da$$