Test 2

問題文

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり，$BC$ の中点を $M$ とします．また，直線 $AB$ に $B$ で接し $M$ を通る円を $\Gamma_1$ ，直線 $AC$ に $C$ で接し $M$ を通る円を $\Gamma_2$ とし，直線 $AM$ と $\Gamma_1,\Gamma_2$ との交点のうち $M$ でない方をそれぞれ $D,E$ ，$DE$ の中点を $F$ ，$\Gamma_1$ と $\Gamma_2$ の交点を $G$ とした時，以下が成り立ちました．
$$
AM:MG=3:1,\quad AC=24,\quad CF=10
$$
この時，$BC^2$ の値を求めてください．

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題文

$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$，外心を $O$ とする．直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし，直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると，以下が成立した:

$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき，線分 $AI$ の長さは，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．

問題文

$AB=5,AC=9$ なる三角形 $ABC$ があり，その外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ の中点を $D$ とすると，$B$ における $\Gamma$ の接線と半直線 $DA$ が点 $E$ で交わりました．また，辺 $AC$ 上の点 $F$ が $\angle CDF=\angle BEA$ をみたしています．$DF=\dfrac{10}{3}$ のとき，線分 $AE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください。

一次関数が(p＋q)を満たすとき

y=1/2x＋(p＋q)がx＋(p＋q)＝１２を満たすとき、xの値を求めなさい。ただし、xは自然数であるものとする。

解答形式

数字は全角で入力してください。

この問題は、コンテスト機能のテストをするために投稿します。大喜利でもどうぞ。
$$1+1=?$$

問題文

AB=ACなる二等辺三角形ABCにおいて、点Aから下ろした垂線の足をD、三角形ABCの外心.垂心をそれぞれO.Hとする。
AH:HD=119:25、OH=138、BC=480のとき、
ABの長さを求めよ。

解答形式

半角で回答して下さい。

問題

Weskdohn君は，次のゲームを行うことになりました.

正$733$角形のマークが書かれたカードW：$W_1W_2 \ldots W_{733}$から一枚選ぶ操作をOPE1と言い，これを$X$回繰り返します．
但し$X$について次の事実がわかっています．

正$3$角形のマークが書かれたカードS：$S_1S_2 S_3$と正$281$角形のマークが書かれたカードN：$N_1N_2 \ldots N_{281}$
について，それぞれ一枚ずつ取り出す操作をOPE2といい，OPE2を973回繰り返した場合の数を$X$通りとする．

ゲームで選んだカードWの組み合わせは$Y$通りと書けるので，$Y_{[9]}$の下三桁$n$を求めて下さい．

但し，異なる番号が振られた同じ種類のカード(例えば$E_d$と$E_h$)は互いに区別できるとし，また$O_{[K]}$は，$O$を$K$進法で書いた時の値とします．

解答形式

求めた値を,半角で入力して下さい．
ex)答えが6106→6106と入力．
また,001のような数値が答えの場合は、0をなくさず001のまま回答して下さい.

問題文

$f(x)$ は $x$ が $3$ で割り切れる回数を示します．
このとき，$$f(\prod_{k=2}^{2024} \lfloor \log_2 k\rfloor )$$ を求めて下さい．

解答形式

一意の整数値に定まるので、それを半角で解答してください．

$$
log_{x}x^{log_{3}27^{log_{5}125}}
$$
$$
を計算してください。
$$
$$
(1)9(2)10(3)11(4)12
$$

問題文

以下の値を素数 $2017$ で割った余りを解答してください。ただし、$\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表します。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023} \left\lfloor\dfrac{3}{7}×2^k\right\rfloor(-1)^{k+1}$

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ に対し，重心と垂心をそれぞれ $G,H$ とし，直線 $GH$ と辺 $AB,AC$ との交点をそれぞれ $D,E$ とし，直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $F$ としたところ，$DH:HG=4:3,BF:FC=3:7$ となりました．
${AD}^2:{AE}^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので，$a+b$ の値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が，その三角形の頂点のうちの一つと，その三角形の外心，垂心を通りました．この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．