D. ループ

問題文

4x4のマス目のうち1つを、更に4x4に分割します。いくつかのマスで長方形を作るとき、何種類の長方形を作れますか。？
但し、同型でも場所が異なるなら違う種類と見なします。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

4x4のマス目のうち、0個以上のマスを選んで1つずつ地雷を置き、すべてのマスに周囲8マス(自身を含まない)の地雷の数を書きます。
地雷を置くすべてのパターンにおいて書かれている数字の総和を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

$n$を正の整数とします。連続する$10$個の整数の積$n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+9)$が$2025^3$で割り切れるような$n$としてあり得る最小のものを求めてください。

解答形式

$n$の値を半角で入力してください。

問題文

$(0,0),(4,0),(0,4),(4,4)$を頂点とする正方形を、頂点が全て格子点上にある三角形4つに分割する方法はいくつありますか。
回転や裏返しをして同じ形になるものも区別するものとします。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

4x4のマス目を1x2のタイル8枚で敷き詰める方法は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

4x4のマス目を境界線で区切り、14分割する方法は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください。

$自然数Xについて、Xの各位の数字を足し合わせた値をk(X)とおく。$
$4桁の自然数A,Bにおいて$$$
\begin{eqnarray}
\frac{k(A)}{k(B)}=\frac{A}{B}=n
\end{eqnarray}
$$$ (nは2以上の整数)$
$のとき、Aの取りうる値は何個あるか。$
半角数字のみで答えよ

問題文

一辺の長さが１である正方形を $n$ 個、頂点が合うように辺同士でつなげてできる図形を $n$-オミノ とする。ただし、$n=1$ の場合は１つの正方形である。また、$n$-オミノが多角形をなすとき（$n$-オミノで囲まれた領域が存在しないとき）、これを $n$-オミノ多角形 とする。

$\rm{S_n}$が$n$-オミノ多角形であるとき、$\rm{S_n}$の辺の数が2024となるような $n$ の最小値を求めよ。

解答形式

答えは整数となるので、半角で入力してください。

問題文

正整数 $n$ に対して $n^{10n}$ を $31$ で割ったあまりを $f(n)$ としたとき，
$$\sum_{k=1}^{12000} f(k)$$
の値を求めてください．

解答形式

半角英数字で回答してください．

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0　―　(*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(1)$ $P(2)$の値を求めよ。

(2)~(4)は，自作場合の数・確率1-2につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定

解答形式

分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答

問題文

緑色の正方形ABCDと、紫色の正方形EFGHがあり、それぞれ1辺6cmである。点Aと点E、点Bと点F、点Cと点G、点Dと点Hがそれぞれ重なるように正方形を重ねる。(緑色の正方形が上にある。)　そして辺ABを3等分する点をとり、点Aに近い方を点Iとする。また辺EFを3等分する点をとり、点Fに近い方を点Jとする。
今、緑色の正方形のみを重心を中心として回転させ、点Iと点Jが重なったところで回転を止めた。このとき、上から見える紫色の部分の面積の合計はいくらか。

解答形式

答えは◯cm^2となるので、◯の部分のみを答えてください。

余談

2年前(小6)のときにルービックキューブを触りながら作った問題です。問題文が長ったらしくて読みにくいと思いますがご了承ください。ちなみにこの問題は当時scratchにも投稿しました。

問題文

命題「aⁿ+bⁿ=cⁿ (n整数、a,b,cの最大公約数1)を満たす全ての自然数a,b,cは互いに素である」の真偽を述べよ

解答形式

真ならば真、偽ならば偽と入力