次の関数の導関数y‘=dy/dxを求めなさい

第1問

次の空欄$(ア)～(オ)$に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
数列{$a_{n}$}を次のように定める。
$$a_1=a_2=1,a_{n+2}-a_{n+1}+a_n=0　(nは自然数)$$この数列の一般項は

$a_n=\frac{(ア)}{\sqrt{(イ)}}$$sin\frac{nπ}{(ウ)}$
である。
また、$a_{2025}=(エ)$であり、$$\sum_{n=1}^{2025}{a_n}=(オ)\quad$$である。

問題文

$X$($0<X<2025$)個の玉から$Y$($0<Y<2025$)個を同時に取り出す操作を考える．
この操作が成り立つ$X,Y$について，玉の取り出し方の総和を求めなさい．

但しボールは互いに区別できるものとする．

解答形式

答えは$a^b+c(a,b,c∈ℤ)$通りと書けます．$a,b,c$として様々なものがありますが，
$a+b+c=Z(Z∈ℤ ,Z>0)$について$MIN(Z)$の値を求めて下さい．

追記：8/6日問題文の訂正を行いました．もし，もとの問題文のせいでミスしたという方がいましたら，大変申し訳ありません．

第2問

次の空欄$(ア)～(エ)$に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
関数$f(x)$を$$f(x)=\frac{log(x)}{x}$$と定める。
$f(x)$は、$x=(ア)$で、極大値$\frac{(イ)}{e}$をとる。
また、$$\int_1^e{f(x)dx}\quad$$
の値は$\frac{(ウ)}{(エ)}$である。

ただし、対数は自然対数を表し、$e$は自然対数の底とする。

第5問

実数$x,y$が不等式$x^2+y^2=1$をみたすとき、$x+y$の最大値を求めよ。

問題文

正整数 $n$ に対して $n^{10n}$ を $31$ で割ったあまりを $f(n)$ としたとき，
$$\sum_{k=1}^{12000} f(k)$$
の値を求めてください．

解答形式

半角英数字で回答してください．

問題文

そらさんとあかつきさんは地点Aから東にある地点Bに向かって進みます。

そらさんは2秒間東に毎秒4m進み、1秒間西に毎秒2m進むを繰り返します。

あかつきさんは毎秒Xm東に進みます。

そらさんとあかつきさんは同時に地点Aを出発し、20秒後に同時に地点Bに到着しました。

Xはいくつですか？

解答形式

Xは互いに素な自然数A,Bを用いてA/Bと表せるので、A+Bを回答してください。

問題文

$56076923$ の素因数の総和を求めてください.
ただし, 重複する素因数は異なるものとして考えます.

解答形式

例）非負整数を答えてください.

$$\int\sqrt{x}dx$$

問題文

次の虫食い算について,SUKEN=？

解答形式

半角数字で入力して下さい.
但しS≠E≠I≠K≠O≠U≠Nとします.

$$\int ^{\frac{3}{2}} _{-\frac{5}{3}}{(6x^2+x-15)}dx$$

問題文

$6106$以下の正整数$N$について,以下のようにスコアを定める.
スコア:整数$a,b(a≦b)$の組で,$ab=N$を満たすようなものの個数.
スコア$＝2$となるような$N$は何通りありますか.
但し,以下に示す10000以下の素数表を用いてもいい.
http://allthingsuniverse.com/jp/prime/10000.html

解答形式

半角数字で入力してください.

問題文

SKG学院の学園祭では,下のような$5$マス$\times5$マスの盤を用いて,次のようなゲームを行う.

・お客さんは,12個の碁石を全てマスの上に置く.
・一マスには一つまでしか碁石は置けない.
・この時スコアを次のように定める.
スコア：各行,各列について,碁石が偶数個置かれているものの個数.

スコアが10となるような,碁石の置き方の一例を答えよ.

解答形式

置かないマスは0,置くマスは1で表す.
例えば,一番右上,一番左上にのみ碁石を置く.この置き方は下のように書くものとする.

10001
00000
00000
00000
00000

またこの時,スコアは8である.