∠B=90∘なる直角三角形ABCにおいて,ACの中点をMとすると,BC上(端点を除く)にAB=MP=MQなる異なる2点P,Qをとることができ,B,P,Q,Cはこの順にあった.また,直線MQについてBと対称な点をXとすると,AX=11,PX=18を満たした.このとき,BCの長さの2乗を求めよ.
求める値は互いに素な正整数a,bを用いてabと表せるので,a+bを半角数字で解答してください.
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鋭角三角形ABCにおいて,外心をOとし,∠OABの二等分線とBCの交点をDとすると,BD=OD,∠AOD>90∘を満たした.AO=7,AD=10であるとき,BCの長さを求めよ.
求める値は正整数a,bを用いてa+√bと表せるので,a+bを半角数字で解答してください.
△ABCにおいて,内心をI,重心をGとし,I からBC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとすると,GはEF上にあり,IG=1,BD:DC=3:5を満たした.このとき,△ABCの周長の2乗を求めよ.
求める値は互いに素な正整数a,bを用いてabと表されるので,a+bを半角数字で解答してください.
外接円の直径が5,AB:AD=5:7の内接四角形ABCDにおいて,△ABCの内心,B傍心をそれぞれI1,IBとし,△ADCの内心,D傍心をそれぞれI2,IDとすると,I1,I2,IB,IDは同一円周上にあり,I1IB⋅I2ID=40を満たした.ACの中点をMとしたとき,BM+DMを求めよ.
AB=13,BC=14,CA=15 を満たす三角形 ABC において、外心を O、辺 AB の中点を M、辺 AC の中点を N、A から辺 BC に下ろした垂線の足を D とします。また、円 DMN と AD の交点を X、MN について X と対称な点を Y とします。このとき四角形 BCOY の面積を求めてください。
半角数字で入力してください。
【補助線主体の図形問題 #115】 今週の図形問題です。今回は重めの問題にしてみました。とはいえ、補助線が活躍するのはいつも通りです。じっくり腰を据えて挑戦してください!
解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。 (例) 12cm → 12.00 10√2cm → 14.14 1+√52cm → 1.62 入力を一意に定めるための処置です。 たとえば答えに無理数を含む場合、√2=1.41やπ=3.14などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
4 点 A,B,C,D は同一円周上にあり,その内部(辺上を含まない)に点 P をとります. また,線分 AP,BP,CP,DP の垂直二等分線をそれぞれ a,b,c,d とします. a,b の交点を E,b,c の交点を F,c,d の交点を G,d,a の交点を H とすると,4 点 E,F,G,H は同一円周上にあり,四角形 EFGH の二本の対角線は P で交わりました. そして,以下が成立しました: HP=5,HE=11,EF=16 このとき,HG の長さの二乗は互いに素な正整数 a,b を用いて ba と表せるので,a+b を解答してください.
非負整数を半角で入力してください.
一辺の長さが 1 の立方体 1800 個から構成される,長さ 10,12,15 の辺からなる直方体があります. このとき,直方体の対角線のうちの 1 つについて,これが内部を通過する立方体の個数を求めてください.
ただし,立方体の内部とは,頂点や辺・面そのものを含まないものとして考えます.
求めるべき値は非負整数値として一意に定まるので,これを解答してください.
下図で、三角形ABCは直角二等辺三角形、三角形BCDは直角三角形です。CDの長さが3cm、DBの長さが11cmのとき、三角形ABCの面積は何㎠ですか。
半角数字で回答してください。 例)10
【補助線主体の図形問題 #109】 今週の図形問題です。今回はシンプルな見た目だけに、補助線が大いに活躍します。その分というわけではありませんが、計算は重めです。ぜひじっくりとお楽しみください。
西暦2024年問題第6弾です。いよいよ整数問題のお出ましとなりました。ある程度は手を動かす必要がありますが、あることに気づけば調べる候補をぐっと減らすことができます。約数の個数を求めるのが面倒な方はWolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com なども併用して構いません。
解答は求めるnの最小値をそのまま入力してください。 (例)n=2106 → 2106
∠ADB=∠ADC=∠CDB=90°なる四面体 ABCD の外接球に関して、体積を V 表面積を S としたとき、非負整数 p を用いて、V=pπ,S=pπ が成り立ちました。 このとき、四面体 ABCD の体積の最大値の2乗を求めてください。
半角数字で入力して下さい。
2024^2023の正の約数の個数はいくつか?
半角で回答 例)100