E

問題文

$\triangle{ABC}$ について直線 $BC$ 上に $W,B,C,E$ の順と並ぶように点 $W,E$ を取ると以下のことが成立しました．

• $AC=35, AW=45,BW=36$
• $BC:CE=1:8$
• $\triangle AWC$ は鈍角三角形であり，その面積は$72\sqrt{111}$

このとき $\triangle{BAE}$ の外心を $O$ とすると，互い素な正整数 $a,b$ を用いて，
$$\triangle{BAE}:\triangle{WAO}=a:b$$
と面積比が表せるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円と，その円に内接する正 $169$ 角形 $A_1A_2\cdots A_{169}$ が与えられています．この正 $169$ 角形の頂点のうち，$A_{169}$ を除いた $168$ 頂点から $3$ 点を選ぶ方法は ${}_{168}\mathrm{C}_3$ 通り考えられますが，それらすべてについて選んだ $3$ 点を頂点とする三角形の垂心と $O$ の距離の $2$ 乗の総和を解答してください．（総和の $2$ 乗ではないことに注意してください．）

問題文

等式
$$3kp-35p=q^2+2^p$$を満たすような素数 $p,q$ と正整数 $k$ の組 $(p,q,k)$ を考えます．$p+q+k$ として考えられる値のうち小さい方から $5$ つの総和を解答してください．　

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

$1998^{2024}$の下$2$桁を求めよ。

解答形式

1行目に半角整数で入力してください。

問題文

『猫又おかゆ』の目の前に左右 $1$ 列に $9$ 個のおにぎりが並んでいます．おにぎりの種類は鮭，うめ，おかかの $3$ 種類のうちいずれかです．並んでいるおにぎりについて，『猫又おかゆ』は次のことに気づきました．

• すべての種類のおにぎりがある．
• ある種類のおにぎりは $1$ 個しかない．
• おにぎりの種類が左右対称に並んでいる．

『猫又おかゆ』の目の前にあるおにぎりの種類の並びとして考えられるものは何通りありますか．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

$n$ を $3$ 以上の正整数とします．正 $n$ 角形から $3$ 頂点選んでそれらを $A,B,C$ としたとき，$\angle ABC =44.5^\circ$ となりました．$n$ として考えられる最小の値を解答してください．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

正 $12$ 面体の $20$ 個の頂点に，$20$ 個の数字
$$
1\cdot 1!, \quad 2\cdot 2!, \dots \quad 20\cdot 20!
$$
を配置します．この正 $12$ 面体の各面の正五角形に対し，その頂点に置かれた $5$ つの数字の総和を書き込みます．面に書き込まれた $12$ 個の数字の総和は配置の仕方によらず一意に定まるので，$S$ を $2024$ で割った余りを解答してください．

どの桁の数も $2$ 以下の非負整数であるような $14$ 桁の正の整数のうち，$7$ の倍数であるようなものの個数を答えてください．

問題文

十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $a,b,c,d,e,f$ であるような $6$ 桁の整数を $A$ とし，十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $e,f,a,b,c,d$ であるような $6$ 桁の整数を $B$ とします．
相異なる $1$ 桁の整数 $a,b,c,d,e,f$ が $e>a>0$ を満たしながら動くとき，$A$ と $B$ の最大公約数の最大値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

ある数$N$は$714$進法で$\underbrace{1818\dots1818}_{\text{1430個}}0$と表されます。$N$の素因数に含まれない最小の素数は何でしょう？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$1$ 以上 $12$ 以下の整数からなる集合を $U$ とし，空でない $U$ の部分集合 $S, T$ を
$$S \cup T = U，S \cap T = \phi$$となるよう定めたところ，$S$ の元の和と $T$ の元の平方和が等しくなりました．このような集合の組 $(S, T)$ すべてに対する「$S$ の元の和」の総和を解答して下さい．

たとえば，
$$S = \{1, 2, ..., 9\}，T = \{10, 11, 12\}$$であるなら，$S$ の元の和は $1 + 2 + \cdots + 9 = 45$ と計算され，$T$ の元の平方和は $10^2 + 11^2 + 12^2 = 365$ と計算されます．

解答形式

半角英数にし、答えとなる正整数値を入力し解答して下さい．

問題文

四角形 $ABCD$ について，線分 $BD$ 上に点 $E$ を取ると，$AE=BD$ で，角 $EAD=$ 角 $AED=$ 角 $EBC=$ 角 $BCE=40°$ が成り立ちました．このとき角 $BDC$ は何度ですか？

解答形式

半角数字で解答してください．