PGC005 (D)

問題文

$AB=5, AC=7$ なる三角形 $ABC$ について，$A$ から $BC$ に下ろした垂線と円 $ABC$ の交点を $D(\neq A)$，$BC$ の中点を $M$ とします．$\angle AMD=90^{\circ}$ であるとき，$BC$ の長さの四乗を求めてください．

問題文

$BC=123, \angle B=90^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について，内心を $I$，$\angle A$ 内の傍心を $J$ とすると，四角形 $ABIC$ は三角形 $BCJ$ よりも面積が $246$ 大きくなりました．$AB$ の長さを求めてください．

問題文

$p^2-pq-q^2+p+q=0$ を満たす素数の組 $(p,q)$ すべてについて，$p+q$ の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

AB=ACなる二等辺三角形ABCにおいて、点Aから下ろした垂線の足をD、三角形ABCの外心.垂心をそれぞれO.Hとする。
AH:HD=119:25、OH=138、BC=480のとき、
ABの長さを求めよ。

解答形式

半角で回答して下さい。

問題文

赤い音符と青い音符の二種類の音符を横に並べたものを譜面と呼びます．
以下の条件を同時に全て満たすような譜面がいくつあるかを求めてください．

• その譜面の赤い音符と青い音符の合計はちょうど $17$ 個である．
• その譜面の最も左の音符は赤い音符である．
• その譜面の左から $2$ 番目の音符は青い音符である．
• その譜面から任意の $3$ つの連続する音符を抜き出したとき，それが左から順に
  「赤い音符，青い音符，赤い音符」にならない
• その譜面から任意の $3$ つの連続する音符を抜き出したとき，それが左から順に
  「青い音符，赤い音符，青い音符」にならない

解答形式

非負整数を半角数字で入力し解答してください。

問題文

四角形 $ABCD$ について，角 $DBC=20°$，角 $BDC=90°$，角 $ADB=40°$，$AD:BC=1:2$ が成り立ちました．このとき角 $ABD$ は何度ですか？

解答形式

半角数字で解答して下さい．

問題文

$BC=18$ かつ面積が $162$ なる三角形 $ABC$ について，重心を $G$，$G$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $P$ とすると，三角形 $PGC$ の面積が $30$ となりました．$AC$ の長さの二乗を求めてください．

問題文

4a²+b²+c²=d²を満たす素数の組について、
abcdの総和を求めよ。

解答形式

半角で答えて下さい。

問題文

$AB:AC=1:2$である三角形$ABC$があり$AC$の中点を$M$とする.
三角形$ABM$の外接円と$BC$の交点のうち$B$でないものを$D$とおき，
$AC$上に$∠ADE=90°$となる点 $E$をとると$CD＝30，DE＝10$であった.
このとき$BD$の長さを解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$p^{2}q^{3}+r^{2}=s^{4}$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ は $n$ 組あり，それぞれの組について $S=p+q+r+s$ を求めると，$S$ の総積は $N$ である．
$n$ および $N$ の値を求めよ．

解答形式

一行目に $n$ の値を，二行目に $N$ の値を，それぞれ半角数字で解答してください．

問題文

縦4列、横4行の16マスのうち、いくつかに色を塗ります。塗られるマスの数が列ごとに相異なり、行ごとに相異なる(但し、列と行で塗られる数が一致しても良い)、場合、塗り方は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

四角形 $ABCD$ について，線分 $BD$ 上に点 $E$ を取ると，$AE=BD$ で，角 $EAD=$ 角 $AED=$ 角 $EBC=$ 角 $BCE=40°$ が成り立ちました．このとき角 $BDC$ は何度ですか？

解答形式

半角数字で解答してください．