WMC 類題

問題文

長方形 $\mathrm{ABCD}$ の $2$ 頂点 $\mathrm{A}\,,\mathrm{B}$ が円 $\mathrm{O}$ 上にあり$,\,$ 辺 $\mathrm{CD}$ が円 $\mathrm{O}$ に接している$.\,$ $\mathrm{A}\,,\mathrm{B}$ の各点において円 $\mathrm{O}$ に外接し$,\,$ かつ直線 $\mathrm{CD}$ に接する円をそれぞれ円 $\mathrm{O_A}\,,\mathrm{O_B}$ とする$.\,$ $2$ 円 $\mathrm{O_A}\,,\mathrm{O_B}$ が外接するときの長方形 $\mathrm{ABCD}$ の辺の長さの比 $\mathrm{\dfrac{AB}{BC}}$ の値を求めよ$.$

解答形式

答えは互いに素な正の整数 $a\,,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので$,\,$ $a+b$ の値を解答してください$.$

類題 https://pororocca.com/problem/3216/

問題文

$\angle{ADC}=\angle{BCD}=90^\circ,BAD>90^\circ$なる台形$ABCD$について,
$$\angle{BAC}=90^\circ,AB=4,AC=3$$
が成立した.$ABCD$の面積を求めよ.

解答形式

求める値は互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので,$p+q$を解答してください.

問題文

太郎君は遅刻魔で、よく遅刻をする。
それを見かねた先生は、
・3日連続で遅刻したら特別指導
・10日間の間に6回以上遅刻をしたら特別指導
というルールを設けた。このとき、10日間で太郎君が特別指導を受けないよう登校する方法は合計何通りあるか。

解答形式

例）半角数字で入力してください。

$x, y, z$ を正の実数とする。以下の連立方程式を満たすとき、$xy + yz + zx$ の値を求めよ。
$x^2 + xy + y^2 = 25$
$y^2 + yz + z^2 = 36$
$z^2 + zx + x^2 = 49$

解答形式

√を含む場合は根号の中身がなるべく小さくなるようにして√部分と係数部分を分けて解答してください。
·解答例　15√3のとき
15
3

正の整数 $n$ に対して, 以下の条件をすべて満たす正の整数の組 $(x, y)$ の個数を $f(n)$ と定めます.

• $\mathrm{lcm}(x, y) = n$
• $x$ は $y^2$ の約数である
• $y$ は $x^2$ の約数である

$f(n) = 15$ を満たす正の整数 $n$ のうち, 小さい方から数えて $10$ 番目のものを求めてください.

問題文

$2$ 以上の整数 $n$ が以下の条件を満たすとき, $n$ を「頑固な数」と呼びます.

• $x^3 \equiv 1 \pmod n$ を満たす任意の整数 $x$ に対し, $x \equiv 1 \pmod n$ が成立する.

$(29!)^2$ の正の約数のうち, 「頑固な数」はいくつありますか.

解答形式

半角左詰めでお願いします

問題文

$n,kをn≠kで3以上の自然数とする。$
$このとき、正n角形において、その内部をn個の正k角形で重複なく、また隙間なく敷き詰められるような(n,k)を求めよ.$

解答形式

(〇,◇)
記号も数字もすべて半角でお願いします。

問題文

与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030

回答の仕方

因数分解された式のみ回答

設問9

数列 ${a_n}$ ($a_n \in {0,1,2,3,4}$) が $a_1=1, a_2=1$ および漸化式 $a_{n+2} \equiv a_{n+1} + a_n \pmod{5}$ ($n \ge 1$) を満たすとする。$a_{2025}$ の値を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

正の実数からなる $2$ つの数列 $a_1,a_2,...$ と $b_1,b_2,...$ があり, 任意の整数 $n$ について以下を満たしている．
$$
(a_{n+1},b_{n+1})=\left(\frac{a_n}{2},b_n+\frac{a_n}{2}\right)または(a_{n+1},b_{n+1})=\left(a_n+\frac{b_n}{2},\frac{b_n}{2}\right)が成立する．
$$
$(a_1,b_1)$ が $(7,11)$ であるとき, $a_{100}$ としてあり得る値の中で $2025$ 番目に小さいものを求めよ．

解答形式

答えの値を $x$ としたとき, $2^{100}x$ の値を解答してください．
参考:$2^{100}=1267650600228229401496703205376$

問題文

$p, q, r $を互いに異なる3つの素数とする。

整数 $K = (qr)^{p-1} + (rp)^{q-1}+ (pq)^r$が、
$K ≡ p+q-1　(mod r)$
という条件を満たすとき、和 $p+q+r$ の最小値を求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

四角形ABCDは正方形である。辺AD上に点P、BCの延長線上に点Qを取ると、三角形PBQは正三角形になる。DCとPQの交点をRとする。AP上にSを取ると三角形SBRも正三角形になる。次の問いに答えなさい。

角RBCの大きさを求めなさい

解答形式

角度の大きさは数字のみで回答してください
(例)180
　　90 など