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問題文

$\angle{ADC}=\angle{BCD}=90^\circ,BAD>90^\circ$なる台形$ABCD$について,
$$\angle{BAC}=90^\circ,AB=4,AC=3$$
が成立した.$ABCD$の面積を求めよ.

解答形式

求める値は互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので,$p+q$を解答してください.

問題

$AB=AC$なる二等辺三角形$ABC$について, $A$から$BC$に下した垂線の足を$H$とし, 線分$AH$上に点$P$をとると,
$$
AP=5　PH=3　∠PBC=∠PAC
$$
が成立した. このとき, 三角形$ABP$の面積の2乗を解答せよ.

問題文

$\sqrt[abc]{a! + b! + c!}$が整数となるような正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ.

解答形式

すべての組に対する $a+b+c$ の値の総和を解答してください。論証は解説を参照してください。

問題文

互いに素な整数の辺 $a,b,l$（斜辺 $l$）を持つ直角三角形を考える。内接円の半径を $r$、周長を $L$、面積を $S$ とする。
$L^2=kS$ ($k$ は正の整数) を満たすとき、
全てのkの値を求めよ。

解答形式

半角1スペースおきに小さい順に並べてください

問題文

$AB=BC$で、面積が$2025$であるような二等辺三角形$ABC$がある。$AB(=BC)$の最小値を求めよ。

解答形式

半角数字で$AB^2(=BC^2)$の値を入力してください。

問題文

命題「aⁿ+bⁿ=cⁿ (n整数、a,b,cの最大公約数1)を満たす全ての自然数a,b,cは互いに素である」の真偽を述べよ

解答形式

真ならば真、偽ならば偽と入力

${}$　西暦2026年問題第10弾です。今年の最終回を迎えました。最終回はどこから手を付けていいのか迷ういそうな問題を用意しています。とはいえ、タネに気づけばサクッと解けるように仕込んであります。じっくりと腰を据えてお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は求める$x$の値を小さい順に2行に分けて半角で入力してください。「$x=$」の記載は不要です。
（例）$x=$110, 2026 → 《1行目》$\color{blue}{110}$、《2行目》$\color{blue}{2026}$

問題文

以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$

このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} ({\alpha_k}^{100}+{\alpha_k}^{99})$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題と同じです．

問題文

$\angle{A}=60^\circ,AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とします．直線 $OH$ と直線 $AB$ との交点を $P$ としたとき，以下が成立しました．$$AP=8,AH=7$$このとき，三角形 $ABC$ の面積は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題

$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$
$この関数が任意の実数x,yについて恒等式$
$$f(x^2+y)＝f(kx^2+2y)-f(3x^2)$$
$を満たすとき、定数kの値を求めよ。$

問題

$AB=3$なる鋭角三角形$ABC$について, $AC$, $BC$の中点をそれぞれ$M$, $N$とすると, $AN=4$が成立した. また, 三角形$ANC$の外接円と直線$MN$との交点のうち, $N$でないほうを$D$とすると, $DC=9$が成立した. このとき, $AD$の長さの二乗は互いに素な正整数$a$, $b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので$a+b$を解答せよ.

問題文

1から100までの整数の中から異なる3つの整数を選び、$a<b<c$ とします。これらの3つの整数が等差数列をなすような選び方は何通りありますか？

解答形式

半角英数字で解答してください。