$\sqrt[abc]{a! + b! + c!}$が整数となるような正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ.
すべての組に対する $a+b+c$ の値の総和を解答してください。論証は解説を参照してください。
$a\leq b\leq c$ としてよい. $n$を割り切る素数$p$に対して$v_p(a!+b!+c!) = v_p(c!)$を示せ. ここからどのような不等式が得られるか?
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$P(x)$ は整数係数の monic な (最高次の係数が1の) 3次多項式 であるとする。方程式 $P(x) = 0$ は、相異なる3つの整数解を持 つことが分かっている。 $P(0)=6$ $P(1)=4$ のとき、$P(4)$の値を求めよ。
半角でスペースなし
$P(x)$ は整数係数の3次多項式である。 すべての整数$ n $に対して、$P(n)+1$ は常に立方数となるとする $P(0)=7$ および $P(1)=26$ が成立している。 このとき、$P(2)-P(-1)$ の値を求めよ。
半角スペースなし
純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)$x$を定義域とする関数$f(x)$を、$x$の循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。$f(\frac{5}{33})=15,f(\frac{4}{3333})=12$といった具合である。 正整数$n$に対して、$n<m<2025^{2025}$なる正整数$m$であって、$n$の値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。 $$f(\frac{n}{m})=(m−2)n$$ 必要ならば、$$0.30102<\log_{10}2<0.30103, 0.47712<\log_{10}3<0.47713$$ を用いてよい。
$$LCM(ax,x^2+3x+2)=LCM(ax,b×x!)$$が成り立つ時、$a+2b+3x$ の値として考えられるものの総和を答えよ。 ただし$x$は自然数、$a,b$は素数とする。
半角数字
与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030
因数分解された式のみ回答
以下の等式を満たす $0$ 以上の整数 $x$ をすべて求めよ。解答する際は、解答形式を参照すること。
$$ \left\lfloor \sqrt{x} \, \right\rfloor + \left\lceil \sqrt{x} \, \right\rceil = x $$
ただし、実数 $x$ に対して $\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数をいう。
答えを小さい順に並び替え、半角数字で一つずつ改行で区切って答えてください。 末尾に改行はあってもなくても構いませんが、各行にスペース等は入れないでください。
例)答えが $-1,8,9,10$ のとき
-1 8 9 10
と解答してください。
$$ a_1 = 1,\quad a_2 = 2,\quad a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} \quad (n \geq 3) $$
$a_{10}$を求めなさい。
四角形ABCD、四角形GHCFはそれぞれ正方形で、1辺の長さはそれぞれ10cm、4cmです。また、DCとFC、BCとHCはぴったり重なっているとする。また、四角形IBKJは長方形で、IJは2cm、IBは4cmとし、ABとIB、BCとBKはぴったり重なっているとする。更に、AJとDGの延長とBCとの交点をEとし、Gを通りΔADEの面積を2等分する線とADとの交点をP、Jを通りΔADEの面積2等分する線と、ADとの交点をRとする。さらにPGの延長とBCとの交点をQ、RJとABとの交点をSとする。PGとRJの交点をOとする。四角形OJEQの面積を求めよ。
分数は/で表してください。 例)2分の9は 9/2 で表す。
以下の2次方程式 $$ x^{2}-2ax+b=0 ― (*) $$ について,自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。 $a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。 $b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。 カードを引く確率は同様に確からしいとし,できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(3)$ $\lim_{n\to \infty}P(n)$を求めよ。
(4)は,自作場合の数・確率1-4につづく
2025/01/07追記 解説をアップデート,全員に対して公開に設定
分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答 例)$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答
この問題は(3)です。自作場合の数・確率1-2を解いてから解くことをお勧めします。
数直線上の点 $\mathrm P$ は初め原点にある.サイコロを振り $1, 2$ が出たら正の向きに $2$ 進み,$3, 4, 5, 6$ が出たら負の向きに $1$ 進むという操作を繰り返す. $6$ 回の操作をおこなったとき,点 $\mathrm P$ が常に $x\geqq0$ の範囲にある確率を求めよ. 答えは互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac ab$ と表されるので,$1$ 行目に $a$ を,$2$ 行目に $b$ を答えよ.
$(1)$ 方程式 $12x^2+4xy-21y^2=32x-32y+3$ の整数解 $(x,y)$ を求めよ. $(2)$ 不等式 $z^2\lt a(a+1)z-a^3$ の奇数解 $z$ が二つとなる実数 $a$ の範囲を求めよ.
$a^{xy}$ がとりうる整数の和を半角数字で入力してください.
$p$ を $p \ge 5$ なる素数とする。集合 $G_p = {1, 2, \dots, p-1}$ の部分集合 $S$ が自己双対的であるとは、 $$a \in S \implies a^{-1} \pmod p \in S \quad \text{かつ} \quad a \in S \implies p-a \in S$$ が全ての $a \in S$ に対して成り立つことと定義する(ここで $a^{-1}$ は $\pmod p$ における $a$ の乗法逆元)。
$N_p$ を、$G_p$ の自己双対的な部分集合 $S$ の総数とする(空集合 $\emptyset$ も含む)。
$N_p = 32$ となるような素数 $p$ ($p \ge 5$) をすべて求めよ。
解を半角1スペースおきに小さい順に並べてください