600A

MARTH 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年4月5日20:00 正解数: 5 / 解答数: 22 (正答率: 22.7%) ギブアップ数: 2

$N=9000^2\times 9001$ とし, 以下の条件を満たす整数の組の列 $(x_0,y_0,z_0), (x_1,y_1,z_1) ,\dots,(x_{N},y_{N},z_{N})$ を良い列 と呼びます.

  • $(x_0,y_0,z_0)=(x_{N},y_{N},z_{N})=(0,0,0)$.
  • $n=1,2,\dots,N$ について, $(x_n-x_{n-1},y_n-y_{n-1},z_n-z_{n-1})$ は $(1,-1,0)$ の $6$ 通りの並べ替えまたは $(0,0,0)$ のいずれかに等しい.

このとき良い列について $(x_i,y_i,z_i)=(x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1})$ を満たす $i\;(i=1,2,\dots,N)$ の個数を $k$ としたとき $2^k$ をその列の 良さ とします. 良い列すべてについてその良さの総和を $S$ とします. このとき $S$ を素数 $8999$ で割った余りを求めてください.


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$$\frac{(a_1+a_2+a_3)!}{a_1!\times a_2!\times a_3!}$$
の総和を $f(n)$ とします.
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  • $a_n\neq 461\quad (n=2,3,\dots,N-1)$
  • $n=2,3,\dots,N$ について, $(a_1+a_{n-1})a_n \equiv (1+a_1a_{n-1})\pmod{461}$

このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください.
ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.

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$ および $n=1,2,3,4,5$ について以下を満たす実数の組の列 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),\dots,(a_6,b_6)$ を考えます.
$$a_{n+1}=x_n a_n-n b_n,\quad b_{n+1}=x_n b_n$$
$b_6=100$ となるとき, $a_6$ として取りうる値には最大値が存在し, それを $M$ とします. $M$ の最小多項式 $P$ が存在するので, $P(500)$ を求めてください. ただし, $P$ の最高次の係数は $1$ とします.

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$\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{5},\dfrac{5}{8},\dfrac{8}{13},\dfrac{13}{21},\dfrac{21}{34},\dfrac{34}{55},\dfrac{55}{89}$ の中から( $2$ 個以上の)偶数個の異なる分数を選ぶ方法 $2^{8}-1$ 通りに対し,選んだ数の積を考えるとき,それらの総和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

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4次方程式 $x^4-4x^3-21x^2-8x+4=0$ の4つの相異なる実数解を,小さいものから順に $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ とします.このとき,以下の値を求めてください:

$$\displaystyle\frac{1}{a_{1}^2-a_{1}a_{2}+a_{2}^2}+ \displaystyle\frac{1}{a_{3}^2-a_{3}a_{4}+a_{4}^2} $$

解答形式

互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ を求めてください.

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$0$ 以上 $6$ 以下の整数からなる組 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ のうち以下を満たすものの個数を求めてください.
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解答形式

半角数字で入力して下さい.

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  • $\angle{CAT}=90$ °
  • $CO=20$
  • $SU$ は $\angle{ASP}$ の角の二等分線
  • $MO=2$

このとき,$AB$ の長さは,互いに素な正整数 $a, b$ と,平方因子をもたない正整数 $c$ を用いて,$\dfrac{a\sqrt{c}}{b}$ と表されるので,$a+b+c$ の値を解答してください.

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$AD=2,DB=4,AE=5,EC=3,BP=1,PQ=10,QC=1$のとき,$AF=\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$である.ただし,$a,b,c$はいずれも正の整数であり,$a,c$は互いに素である.また,根号の内部は十分簡単になっている.
$a+b+c$の値を求めよ.

解答形式

半角数字で解答してください.

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聖くんと光くんはトランプゲームを行うことにした.

なお,$1$ から $13$ までの数字が書かれたトランプをそれぞれ四枚ずつ用いる.

ルールは以下の通り.
- 聖くんはトランプを $1$ 枚から$3$ 枚まで引くことができる.
- 光くんは幾つかの質問をして,聖くんが引いたトランプに書かれた数字を回答する.

光くん「書かれた数字の和を教えて」
聖くん「$31$ だよ」
光くん「うーん難しいな……なにかヒントくれない?」
聖くん「トランプに書かれた数字の積を求めたら、各位の和は $2$ になったよ」

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解答形式

答えが1,2,4の場合は(1,2,4)と入力して下さい.(小さい順に)

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SKG学院の文化祭では,1から10の目が一つずつ書かれた十面体の歪んだダイスを配布しています.このダイス十個に$1$から$10$までの番号をつけることにしました.
ここで以下のような事実が分かっています.
また$1≦n≦10$を満たす任意の整数$n$について,番号$s$がついたダイスを一回振って$n$の目が出る確率を$a_{n^s}$と書くことにします.

・$a_{1^s}:a_{2^s}…a_{9^s}:a_{10^s}=1^s:2^s\cdots9^s:10^s$を満たす.

この十個のダイスを同時に一回振る時,出目の積の期待値を求めて下さい.

解答形式

半角数字で入力して下さい.

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三角形 $ABC$ の辺 $AB , AC$ (端点を除く)上にそれぞれ点 $P , Q$ があり,直線 $BC , PQ$ は,半直線 $BC$ 上の点 $R$ で交わっています.また,線分 $BC , PQ$ 上にそれぞれ点 $M , N$ があり, $\dfrac{BM}{MC} = \dfrac{PN}{NQ} = \dfrac{BR}{RC}$ を満たしています.いま,直線 $AN$ と $\triangle ABC$ の外接円の交点のうち,$A$ でない方を $X$ としたところ,$\angle MNR = \angle MXR = 90^{\circ}$,$\angle BXM = 63^{\circ}$ がそれぞれ成り立ちました.このとき,$\angle BAC$ の大きさを度数法で求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.